高中数学第二章数列2.1.1数列课堂探究学案新人教b版必修5

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1、2.1.1　数列课堂探究一、对数列通项公式的理解剖析：(1)数列的通项公式实际上是一个以自然数或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数表达式．(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项．(3)与所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如的不足近似值，精确到1，0．1，0．01，0．001，0．0001，…，所构成的数列1，1．4，1．41，1．414，1．4142，…就没有通项公式．(4)有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯

2、一的，正如数列：－1，1，－1，1，－1，1，…，它可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝还可以写成an＝(－1)n＋2(n＝1，2，3，…)等，这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列．(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出数列的通项公式并不唯一．二、函数思想在数列中的应用剖析：数列是一种特殊的函数，判断数列的单调性，求数列的最值、周期等都可以利用函数的思想来解决．(1)数列是一种特殊的函数，其定义域为正整数集(或它的有限子集)，值域是数列中的项的集合．(2)数列的通项公式是项an与项数n的等量关系式．从函数的思想看，就是函数值an

3、与自变量n的等量关系式．利用通项公式求数列中的项的问题，从函数的观点看就是已知函数解析式求函数值的问题．因此，用函数的思想解决数列问题可使问题变得更简单．(3)数列中求数列最大(小)项的问题也是常见题目，就是用函数的思想求函数的最值问题，可利用函数求最值的方法求数列中的最大(小)项问题，如图象法等，可使问题简单化．(4)数列中求数列的单调性问题也是常见题目．就是用函数的思想求数列的单调性问题，可利用函数单调性的定义求数列的单调性，又使问题函数化了．总之，在函数中研究的函数性质在数列中都有可能利用到，利用函数的思想解决数列的有关问题可达到事半功倍的效果．三、教材中的“思考与讨论”6是否存在

4、一个各项都小于5的无穷递增数列？如果存在，请写出一个这样的数列的通项公式．(提示：先定义一个在(0，＋∞)上，且函数值都小于5的函数)剖析：存在这样的数列，如an＝－，an＝5－等均满足条件．题型一　数列的概念【例1】下列哪些表示数列？哪些不表示数列？(1){1，5，2，3，6，7}；(2)方程x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝0的解；(3)f(x)＝x2－x＋2的函数值f(－1)，f(0)，f(1)，f(2)；(4)当x＝1时，x，x＋1，x－2，x2，2x的值；(5)－3，－1，1，x，5，7，y，11．分析：由数列的定义，抓住两点：(1)是否是一列数；(2)是否按照一定的

5、顺序排列，即可判断出是否为数列．解：(1){1，5，2，3，6，7}表示的是一个数集，而不是数列；(2)表示的是方程的解，虽然是数，却没有一定的顺序，不能叫数列；(3)f(－1)，f(0)，f(1)，f(2)是有顺序的一列数，是数列；(4)当x＝1时，x，x＋1，x－2，x2，2x都是一些数，而且具有顺序，故是数列；(5)当x，y表示数时为数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列．反思：运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤是：(1)判断这组元素是否都是数；(2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列．注意：按一定顺序不表示该数列具有规律性，即数列中的每一项可以是有规律的，也可以

6、是无规律的．题型二　根据通项公式求项【例2】根据下面数列的通项公式，写出它们的前5项．(1)an＝；(2)an＝3n＋2n．分析：已知数列的通项公式，依次用1，2，3，…代替公式中的n，便可以求出数列的各项．解：(1)在通项公式an＝中，依次取n＝1，2，3，4，5，得到数列的前5项为a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝．(2)在通项公式an＝3n＋2n中，依次取n＝1，2，3，4，5，得到数列的前5项为a1＝3×1＋21＝5，a2＝3×2＋22＝10，a3＝3×3＋23＝17，a4＝3×4＋24＝28，a56＝3×5＋25＝47．反思：数列的通项公式给出了第n项an与它的位

7、置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，便可以求出相应的各项，实际上相当于已知函数的定义域和解析式，求函数值．题型三　由数列的前几项写通项公式【例3】分别写出下列数列的一个通项公式：(1)－1，3，－5，7，－9，…；(2)4，－，2，－，…；(3)5，55，555，5555，…；(4)1，1，，，，…；(5)，3，，，3，…．分析：从前几项中观察出项与序号之间的规律，用一个式子表达出来即可．解：(1)因为数列的各项是负正项交