[理学]第二章单跨梁的弯曲理论

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1、第二章单跨梁的弯曲理论BendingTheoryofSingle-SpanBeam几何特性：受外荷作用而发生弯曲的杆件叫作梁，仅在梁的两端有支座的梁叫单跨梁。悬臂梁是单跨梁的一种特殊情形。船体骨架是复杂的空间杆件系统，组成骨架的每一根杆件都可看作梁。以后在分析杆件系统时，总是根据一定的法则把他们拆开为一根一根杆件进行分析。每一根杆件都是单跨梁。一般为斜直线水平线抛物线下凸有极值为零处有尖角(向下）有突变(突变值=FP)有极值变号无变化有突变（突变值=M）剪力图弯矩图梁上情况无外力均布力作用(q向下)集中力作用处(FP向下)集中力偶M作用处铰处无影响为零斜直

2、线剪力图与弯矩图之间的关系§2-1梁的弯曲微分方程式及其通解1.梁的弯曲微分方程式现考虑一单跨直梁:规定:梁的载荷q——向下为正；梁的挠度v——向下为正;梁的转角θ——顺时针方向为正;图2.1图2.2梁的弯矩M——左逆右顺为正；梁的剪力N——左下右上为正;c根据微段的平衡条件得到：有下式：（2－1）（2－4）（2－3）（2－2）利用式（2－1）～（2－4），就可得到梁的弯曲微分方程式：（2－5）（2－6）（2－7）式（2－7）就是等截面直梁的弯曲微分方程式。2.梁的弯曲微分方程式的通解，初参数法式（2－7）是简单的常微分方程，逐次积分可得到：（a）（d）（

3、b）（c）梁左端的弯曲要素称为初始弯曲要素，或简称为初参数。式（d）就是微分方程式（2－7）的通解可见，积分常数就是梁的初参数。于是通解式（d）可用梁的初参数表示为：（e）由初参数引起的挠度由分布载荷如果没有分布载荷项，上式变为：（2-8）这说明，梁的挠度取决于梁端四个初参数。讨论：（1）集中力作用下的梁。pblxyxpblxyx将梁分成两段：由边界条件确定由连续性条件确定由连续性条件：布勃诺夫将函数断子符号‖b引入船舶结构力学，从而梁全长的挠曲线可以表示为断子函数将梁分成两段：为第一段，为第二段，并把集中力看作是作用在第二段的初始点。于是对于第一段，梁的

4、挠曲线可写为：第二段相对与第一段来说，它在端点多了一个集中力，这个集中力相当于第二段的一个初始剪力，且为正。所以梁的挠度在第一段过渡到第二段时仅增加一项与P有关的项：此处为自第二段开始算起的坐标再在加符号，表示此项在时才起作用，于是得到梁的挠曲线为:同理：（2）在集中弯距作用下的梁。blxyxm图2.3（2-9）（2-10）同理：（3）在任意分布载荷作用下的梁。blxyxq(x)图2.4（2-11）综上所述，在任意载荷作用下梁的挠曲线方方程为：blxyxq(x)caPm图2.5（2-12）通用方程式§2-2梁的支座和边界条件1.梁的支座及相应的边界条件（1

5、）自由支持在刚性支座上边界条件为:图2.6活动铰支座固定铰支座（2）刚性固定在刚性支座上，刚固端边界条件为:图2.7（3）弹性支座弹性支座，v∝P刚性系数自由支持在弹性支座上梁端的边界条件为:vvEIxyP图2.8柔性系数讨论：刚性系数为0时，和柔性系数为0时各代表哪种边界条件？（4）弹性固定端所谓弹性固定端。xyAAEIMM图2.9梁端力矩柔性系数刚性系数梁两端受到的支座反力矩即梁端弯距，根据上节弯距正负号的规定，他们均为正。由转角的正负号规定，左端为正，右端为负。由弯距与挠度之间的微分关系：＝EIv’’,将其代入式（2-14）得这就是弹性固定

6、端得边界条件。由此可得弹性固定在刚性支座上梁端的边界条件：讨论：刚性系数为0时，和柔性系数为0时各代表哪种边界条件？xyAAEIy图2.10图2.112.挠曲线通用方程式的应用例1:求图2.12所示的挠曲线方程及左右端处的转角。xyAEIm图2.12l当梁端有集中力或弯距作用时，梁端的边界条件都应当把他们考虑在内。对于给定已知挠度或转角，在写边界条件时，也应把他们考虑在内。有了边界条件，就可以应用挠曲线通用方程式确定单跨梁的挠曲线方程和其它弯曲要素。解：从图中可以看出，除了在梁的右端有一集中弯距外，梁上没有任何载荷。由式（2-8）得：根据梁右端的

7、边界条件：将两端的边界条件代入到上式得：4个未知数，要列4个平衡方程：根据梁左端的边界条件：（a）从而解得：将其带入到通用挠曲线方程式（a）从而得到梁的挠曲线方程，继而可以得到梁的转角方程。从而可以计算梁左端和右端的转角。梁的挠曲线方程为：梁的转角方程为：梁的左端转角为：梁的右端转角为：当A＝时，实际上就是固定铰支座mx图2.13myEIl当A＝0时，就是固定端。mxyEI图2.14l例2:求图2.15所示的梁的挠曲线方程xy解：从图中可以看出，本梁只受到均布载荷q的作用。由式（2-11）得：图2.154个未知数，要列4个平衡方程：根据梁右端的边界条

8、件：将两端的边界条件代入到上式得：根据梁左端的边界条件：又：从而解