[工学]材料力学 应力与应变分析

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1、第四节三向应力状态下的最大应力1、三向应力状态的应力圆如图所示三向应力状态的主单元体考察图示的三棱柱体，斜面与前后面向垂直。与s3平行的斜截面上的应力可在s1、s2应力圆的圆周上找到对应的点。与s2平行的斜截面上的应力可在s1、s3应力圆的圆周上找到对应的点。与s1平行的斜截面上的应力可在s2、s3应力圆的圆周上找到对应的点。1、三向应力状态的应力圆研究表明:对于与三个主应力均不平行的任意斜面上的应力，它们在s-t坐标平面内对应的点必位于由上述三个应力圆所构成的绿色区域内。2、三向应力状态的最大切应力最大切应力τmax所在平面与σ1和σ

2、3作用的两个主平面夹角为45º例5-5用图解法求图示单元体的主应力和最大切应力（应力单位为MPa）,并作三向应力圆。易知，单元体z平面为主平面。-30MPa应为三个主应力之一。在s-t坐标系中可得到其点C。考虑x-y平面D(120,-30)D'(40,30)画出应力圆可得到三个主应力和最大切应力20030050otmax平面应力状态作为三向应力状态的特例20050O3005030050O第五节广义胡克定律1、广义胡克定律的简单推导前面谈到的胡克定律:单向拉伸条件下杆件产生横向应变:纯剪切情况下:最一般情况下，描述一点的应力状态需要九个应

3、力分量，如图所示:根据切应力互等定理则独立的应力分量只有六个。1、广义胡克定律的简单推导对于各向同性材料:小变形及线弹性范围内，线应变只和正应力有关，与切应力无关；而切应变只和切应力有关，与正应力无关。利用叠加法可求得各方向上的线应变。1、广义胡克定律的简单推导=++++1、广义胡克定律的简单推导利用同样的方法可以求得y和z方向上的线应变。最后可得:切应变和切应力之间，与正应力无关，因此:以上被称为广义胡克定律。1、广义胡克定律的简单推导当单元体的周围六个面皆为主平面时:e1、e2、e3为主应变。主应变和主应力的方向是重合的。广义

4、胡克定律的应用——求平面应力状态下任意方向的正应变：aa+90求出,就可求得方向的正应变例5-6用电阻应变仪测得图示受扭的圆轴表面上任意两个成45°角方向的应变值:e'=3.25×10-4，e''=-5.63×10-4。已知E=200GPa,n=0.3,d=10cm,求力矩M。此问题是一个纯剪切的问题，先考虑纯剪切的一般情况。画出纯剪切的应力圆:取一个任意角度的单元体:由图可得:根据广义胡克定律:根据题意：在应力圆上标出:2、体积应变与体积模量当单元体处在复杂应力状态时，其体积也将发生变化，如图所示:变形前的体积:变形后边长变化为:体

5、积变化为:略去高阶微量:第六节广义胡克定律2、体积应变与体积模量单位体积的改变或体积应变为:体积应力：体积模量--平均应力。第六节平面应变状态的分析应变（strain）的概念线应变与切应变一般情况下，受力构件内各个点都受应力作用，各个点处均要发生变形。构件各点或各部分的变形累积成构件整体变形。若要研究构件内某一点a的变形，可围绕该点取一单元体如下图所示。在应力作用下，单元体棱边的长度可能发生改变。例如，棱边ae由Dx伸长到Dx+Du。点a在x方向的平均线应变点a在x方向的线应变（或正应变）应变（strain）概念线应变与切应变点a在x方

6、向的线应变或称为正应变。它描述了该点处在x这个线度方向变形的程度。同理，、分别表示点a沿y、z方向的线应变。单元体除发生棱边长度改变的变形外，还可能发生角度的改变，即发生角变形。例如，下图所示，变形前棱边ae和af两微小线段的夹角为p/2，变形后夹角减少了a+b。称为点a在平面内的切应变或角应变。同理，用分别表示y-z平面内和x-z平面内的切应变。一、任意方向的线应变平面应力状态面内的任意方向。oyxτxτyγxy正应力方向的规定？+-拉压切应力方向的规定？使单元体顺时针为正对于切应变，规定使∠xoy变小为正，图示切应变为正or负？正的

7、切应力对应着负的切应变，切应力和切应变总是异号由平面应力状态斜截面上的应力公式（1）由平面应力状态的广义胡克定律并注意到切应力和切应变异号有：（2）（3）（4）将（1）代入（2）得（5）再将（4）代入（5）中，并经三角函数关系变换整理得仿照二向应力状态的分析方法，会得出类似的分析结果。例如，在平面应变状态中，通过一点一定存在两个相互垂直的方向，在这两个方向上，线应变为极值而切应变为零。这样的极值线应变称为主应变，这个方向称为主应变方向或应变主轴。主应变主应变及主应变方向主应变方向最大切应变及其方向即最大切应变最大切应变方向应变圆斜向方向

8、应变公式中消去参数a，得应变圆方程应变圆第七节复杂应力状态下的应变比能物体在外力作用下发生弹性变形，外力所作的功将使物体积蓄变形能，当外力卸除后，此变形能释放并对外做功。这种以弹性变形形式积蓄的能量被称为弹