高等数学_第一讲__极限与连续

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1、1.1数列的极限1.2函数的极限第一讲极限与连续1.3无穷小量与无穷大量1.4函数的连续性1.1数列的极限一、数列极限的定义二、几个常用的数列极限三、数列极限的四则运算法则四、典例精析例1、求极限：【解析】例2、已知求实数a,b的值。【解析】1.2函数的极限一、函数极限的定义3.左极限与右极限二、极限的四则运算法则注意：上面的极限中省略了自变量的变化趋势，下同.三.两个重要极限解析：1.3无穷小量与无穷大量一、无穷小量与无穷大量的定义定义1极限为零的量称为无穷小量，简称无穷小.推论常数与无穷小量之积为无穷小量.二、无穷小的性质性质1有限个无穷小的代数和仍然是无穷小.性质2有限个无穷小之积

2、仍然是无穷小.性质3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.三、无穷小量的阶常用等价无穷小：例：求极限四、无穷小与无穷大的关系1.4函数的连续性一、连续的定义结论：二、间断点①［跳跃间断点］【例1】【解】2.函数间断点的几种常见类型(1).【第一类间断点】(左右极限都存在的点).1②［可去间断点］【例2】【解】【说明】可去间断点只要改变（原来有定义时）或者补充（原来无定义时）间断点处函数的定义,则可使其变为连续点，故称其为可去间断点.如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.【特点】可去型：左右极限存在且相等.跳跃型：左右极限存在但不相等.(2)【第二类间断点】【例3】【解】【特点】这

3、种情况称为无穷间断点【例4】【解】这种情况称为振荡间断点.【特点】振荡而不存在，但均不为∞，称之.图3.3.1例3解析：利用“若函数在点处连续，则函数在点处既右连续又左连续”.三、初等函数的连续性1.初等函数的连续性由基本初等函数的连续性、连续的四则运算法则以及复合函数的连续性可知：结论：(1)求初等函数的连续区间就是求其定义区间；(2)关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性外，还必须讨论分段点处的连续性.定理3初等函数在其定义域内是连续的.2.利用函数的连续性求极限3.闭区间上连续函数的性质小结：若函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，则它在该区间上未必能取得

4、最大值和最小值.（如图3.3.2所示）.图3.3.2