高等数学 第2章 极限与连续

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1、第二章极限与连续极限是高等数学中最主要的概念之一，也是研究微积分的重要工具，如导数、定积分、重积分等定义都需要用极限来定义，因此，掌握极限的思想和方法是学好微积分学的基本前提．第一节极限的定义教学目的：1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。2.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。教学重难点：1.极限的概念和左极限与右极限概念及应用；2.无穷小及无穷小的比较；本节将在中学学习过的数列的极限的基础上学习函数的极限、极限性质

2、、无穷小的定义及性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系．一、数列的极限定义对于数列，如果当无限增大时，无限趋近于一个确定的常数，则称为数列的极限．记作或（）．亦称数列收敛于；如果数列没有极限，就称数列是发散的．数列极限的运算法则为：如果,，那么法则1()；法则2()；22法则3(是常数)；法则4(．以上法则1，法则2可以推广到有限个数列的和与积的情形．二、函数的极限1．当时，函数的极限定义如果当的绝对值无限增大（即）时，函数无限趋近于一个确定的常数，那么称为函数当时的极限，记为或当时，．如图1－5（b

3、）所示,函数当的绝对值无限增大时,函数的图象无限接近于轴．也就是，当时，无限地接近于常数零，即．在上述定义中，自变量的绝对值无限增大指的是既取正值无限增大（记为），同时也取负值而绝对值无限增大（记为）．但有时自变量的变化趋势只能或只需取这两种变化的一种情形，为此有下面的定义：定义如果当(或)时，函数无限趋近于一个确定的常数A，那么A称为函数当(或)时的极限，记为或当时，；或当时，．由图1－5（b）可以看出，及，这两个极限与相等，都是0．由图1－11（b）可以看出，，．由于当和时，函数22不是无限趋近

4、于同一个确定的常数，所以不存在．由上面的讨论，我们得出下面的定理：定理的充要条件是：．（证明略）2．当时，函数的极限定义设函数在点的某个近旁（点本身可以除外）内有定义，如果当趋于（但）时，函数无限趋近于一个确定的常数，那么称为函数当时的极限，记为或当时，．例1考察极限(为常数)和．解因为当时，的值恒为，所以．因为当时，的值无限接近于，所以．3．当时，的左、右极限因为有左右两种趋势，而当仅从某一侧趋于时，只需讨论函数的单边趋势，于是有下面的定义：定义如果当从左侧趋近（记为）时，函数无限趋近于一个确定的

5、常数，那末称为函数当时的左极限，记为．如果当从右侧趋近（记为）时，函数无限趋近于一个确定的常数，那末称为函数当时的右极限，记为定理的充要条件是：．（证明略）例2讨论函数22当时的极限．解观察图2－1可知：，．因此，当时，的左右极限存在但不相等，由定理2知，极限不存在．例3研究当0时,的极限．解观察图2－2可知：由于,．所以当时，的左,右极限都存在且相等．由定理2知0时,的极限存在，且等于．图2－11－1－12－2Ox1yy=－xy＝x图2－2Oxy三、无穷小量22实际问题中，常有极限为零的变量．例如

6、，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零．对于这样的变量，有下面的定义：1．无穷小量的定义定义极限为零的变量称为无穷小量，简称为无穷小．如果，则变量是时的无穷小，如果，则称是时的无穷小，类似的还有，，，等情形下的无穷小．根据定义可知，无穷小是一种变化状态，而不是一个量的大小，无论多么小的一个数都不是无穷小，只有零是唯一的一个可作为无穷小的常数，无穷小是有极限变量中最简单而最重要的一类，在数学史上，很多数学家都致力于“无穷小分析”．2．无穷小量的性质定理有限个无穷小的代数和为无穷小．（

7、证明略）注意，无穷个无穷小之和未必是无穷小，如时，，，都是无穷小，但是，当时，所以不是无穷小．定理有界函数与无穷小的积为无穷小．（证明略）推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.（证明略）推论2有限个无穷小的积为无穷小．（证明略）例4求极限．解因为是当时的无穷小，而是一个有界函数，所以．3．函数极限与无穷小的关系设，即时无限接近于常数A，有就接近于零，即是时的无穷小，若记，于是有定理3（极限与无穷小的关系）的充分必要条件是，其中是的无穷小．22例如当时，有，其中就是时的无穷小．四、无穷大量1．无穷大的定义

8、定义6若当（）时，函数的绝对值无限增大，则称函数为当(或)时的无穷大.函数当（或）时为无穷大，它的极限是不存在的，但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限为无穷大”，并记为或．例如，当时，是一个无穷大，又例如，当时，是一个无穷大．注意，说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向；无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数．2．无穷大与无穷小的关系我们知道，当时，是无穷小，是无穷大；当时，是无穷大，是无穷小．一般地，在自变量的同一变化过程中，如果为无穷