2高考中均值不等式类型解析

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1、高三第一轮复习——用均值不等式求最值的类型及方法-教师版均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。一、几个重要的均值不等式®a2+b2>2ab^ab2yfab<=>ab<(a^b2(6f、/?£/?+)，当且仅当a=b时，“=”号成立;注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”;②熟悉一个重要的不等式链:二、函数，(%)=似+么(“、/7〉0)图象及性质(1)函数乂(x)=or+仝(a、b〉0)图象如图:x(

2、2)函数/(又)=ax+上(口、6〉0)性质：x①值域：(-oo，—2a/GF]U[2a/^,+°°)；②单调递增区间：(-oo，-f]，l^-,+oo)；单调递减区间：(0,，[-^-,0).三、用均值不等式求最值的常见类型1：配系数【例1】已知0

3、x=Z-说明:这里运用了22:添加项32【例2】已知x〉2,求y=x+^—的最小值.22x-3213【分析】按照“积定和最小”的思路，由于XX不是定值，所以应把;c变凑成一(2x-3)+2,使得2x-32212-(2x-3)x=1为定值.22x-3【解】由于x〉2,所以2x-3〉0,于是2y=%+=-(2%-3)+^—+->2J-(2^-3)x^—2x-322x-32V22x-3223)-2Xz(112当仅目•II-2%卩512-即712IIinmy【例3】求函数)，=x+2(x-DU〉l)的最小值^-1^£zl+_L_+i(x>1)11x—22(x-l)2解析:y=x+^u>,)=(%-1

4、)+^i7+1(%>,)—、。/义_1义_11i、3153.4+12—H1=—，V222(x-1)222r_11S当且仅当——=Hxsl)即x=2吋，号成立，故此函数最小值是二。22(x-l)22评析：利用均值不等式求儿个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。3:分拆项r2—+6【例4】已知x〉2,求的最小值.x—22【分析】按照“积定和最小”的思路，必须把y=分拆成两项，再配凑适当的系数，使得其积x—2为定值.【解】巾于x〉2,所以，厂？—3又+6=(又_2+2)2—3U—2)=以_幻+丄+加丄门=3当且仅当x—2%—

5、2%—2vx-24又一2=—了即x=4时，ymin=3.x-24:巧用”1”代换12【例5】已知正数x，y满足2x+>’=l，求一+—的最小值.xJ【解】注意到—I—=(2x4-y)x(—I—)=——+—+4>2——X—+4=8，当J1仅当—■=2即xyxyyxyxyxXJmm5:换元Cl—cci—c【例6】已知求+的最小值.a-bb-c【解】设x=“—/?，y=/)—c,则％+y=6/—c，义，y都是正数，所以w=X+)+X+)=—+—+2>4,xyyx当且仅当三=2即g+c=2/7时，w=+取到最小值是4.yxa-bb-c说明:换元的目的是为了简中.化与熟悉化,如果利用整体思想也可以不挽

6、元.r-I-1【例7】己知；v〉—1，求y=_的最大值.x2+5x+8【解】设;c+l=r，则r〉0,），=厂2=—J——=-,当且仅当f=i即（卜1）2+5（卜1）+8/+4+3274+37ttr二2,又二1时，ymax=

7、.说明:这里如果不换元,则运算不是很方便.6:直接运用化为其它【变式训练3】（1）己知％,/为实数，若4/+/+%/=1.则什+/的最大值是.⑵（2012•梅州调研）己知Z>0，y>0,xy=x+2y,若x/S/z/—2恒成立，则实数/〃的最大值是.解析(1)•••4/+y+%7=1，•••(2x+y)1=3xy+i.又2xy^'2x+y>I•••(2x+/)2^当2%

8、=/时取等号.^+A+1,BP(2,+7)24因此(2x+y)max’⑵•••xy=x+2y^2yj2xyf•••(2—2^/2*777^0.•••^/^>2^/^或^/7^0(舍去)..*.^7^8.巾题意知//广2<8，即777^10,•••///的最大值为10.答案⑴

9、/TB(2)105.(2011•合肥模拟)若正实数a,办满足61+/>=1，则()•A.^+i有最大值4B.f/Z?有最小