均值不等式试卷 2含解析

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1、课时提升卷2三个正数的算术-几何平均不等式一、选择题(每小题5分,共30分)1.设x,y,z∈R+且x+y+z=6,则lgx+lgy+lgz的取值范围是　(　　)A.(-∞,lg6]B.(-∞,3lg2]C.[lg6,+∞)D.[3lg2,+∞)2.若实数x,y满足xy>0,且x2y=2,则xy+x2的最小值是　(　　)A.1B.2C.3D.43.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为　(　　)A.9B.8C.3D.4.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为　(　　)A.3B.2C.12D.125.当0≤x≤时,函数y=x2(1-5x)的最大值为　(　　)A.B

2、.C.D.无最大值6.设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,若M=··,则必有　(　　)A.0≤M0,y>0且xy2=4,则x+2y的最小值为　　　　　　.8.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算,即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是　　　　.9.(2013·扬州高二检测)设正数a,b,c满足a+b+c=1,则++的最小值为　　　　　　.三、解答题(10～11题各14分,12题18分)10.求函数f(x)=x(5-2x)2的最大值.11.(2

3、013·常州高二检测)已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3.12.(能力挑战题)如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值.答案解析1.【解析】选B.因为x,y,z∈R+,所以6=x+y+z≥3,即xyz≤8,所以lgx+lgy+lgz=lgxyz≤lg8=3lg2.2.【解析】选C.xy+x2=xy+xy+x2≥3=3=3,当且仅当xy=x2时,等号成立.3.【解析】选A.因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c≥3,所以0

4、所以++≥3≥3=9.当且仅当a=b=c=时等号成立.4.【解析】选C.因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时取等号.5.【解析】选C.y=x2(1-5x)=x2=x·x·.因为0≤x≤,所以-2x≥0,所以y≤=,当且仅当x=-2x,即x=时,ymax=.6.【解析】选D.M==≥=8,当且仅当a=b=c时等号成立.7.【解析】由xy2=4,得x+2y=x+y+y≥3=3=3,当且仅当x=y=时等号成立.答案:38.【解析】由题意知a+(b*c)=a+=,(

5、a+b)*(a+c)==,所以a+(b*c)=(a+b)*(a+c).答案:a+(b*c)=(a+b)*(a+c)9.【解析】因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1,所以(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9.于是[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]≥3·3=9,当且仅当a=b=c=时等号成立,即++≥1,故++的最小值为1.答案:110.【解析】f(x)=x(5-2x)2=×4x(5-2x)(5-2x)≤=.当且仅当4x=5-2x,即x=时,等号成立.所以函数的最大值是.【拓展提升】用平均不等式求最值利用平均不等式求函数的最值必须同时具备“一正、二定、三相等”这三个条件才能

6、应用,否则会求出错误结果,在具体问题中,“正数”这个条件一般由已知条件容易获得,“相等”条件也容易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形能力,因此,“定值”条件是运用不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项,创造应用平均不等式的情境及能使等号成立的条件.当连续应用不等式时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,否则也不能求出最值.11.【证明】因为x>0,y>0,x-y>0,2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.12.【解题指南】设出变量表示出容器的容积,利用三个正数的平均不等式求解.【解析】

7、设正六棱柱容器底面边长为x(x>0),高为h,由图(3)可有2h+x=,所以h=(1-x),V=S底·h=6×x2·h=x2··(1-x)=2××××(1-x)≤9×=.当且仅当=1-x,即x=时,等号成立.所以当底面边长为时,正六棱柱容器容积最大,为.关闭Word文档返回原板块。