用均值不等式求最值的类型及方法

《用均值不等式求最值的类型及方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、高三理应培优（用均值不等式求最值的类型及解题技巧）均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。一、几个重要的均值不等式①当且仅当a=b时，“=”号成立；②当且仅当a=b时，“=”号成立；③当且仅当a=b=c时,“=”号成立；④,当且仅当a=b=c时,“=”号成立.注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；②熟悉一个重要的不等式链：。二、函数图象及性质(1)函数图象如图：(2)函数性质：①值域：；②单调递增区间：，；单调递减区间：，.三、用均值不

2、等式求最值的常见类型与解题技巧类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。例1、求函数的最小值。（技巧1：凑项）解：-6-，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最小值是。评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆低次的式子）等方式进行构造。类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值：①②解析：①，∴，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是1。（技巧2、取平方）②，则，欲求y的最大值，可先求的最大值。,当且仅当，即时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是。技巧3：分离例3.求的值域。解析一：本题看似无

3、法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧4：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。-6-评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。类型Ⅲ：用均值

4、不等式求最值等号不成立。技巧5：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例4、若x、y，求的最小值。解法一：（单调性法）由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。证明：任取且，则，∵，∴，则，即在上是减函数。故当时，在上有最小值5。解法二：（配方法）因，则有，易知当时，且单调递减，则在上也是减函数，即在上是减函数，当时，在上有最小值5。解法三：（导数法）由得，当时，，则函数在上是减函数。故当时，在上有最小值5。评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法也是较为简洁实用得方法。类型Ⅳ：条件最值问题。例5、已知

5、正数x、y满足，求的最小值。技巧6：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。解法一：（利用均值不等式）,-6-当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。技巧7消元.解法二：（消元法）由得，由则。当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法三：（三角换元法）令则有则：，易求得时“=”号成立，故最小值是18。评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：。原因就是等号成立的条件不一致。技巧8：凑系数例6.当时，求的最大值。解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个

6、式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。变式：设，求函数的最大值。解：∵∴∴当且仅当即时等号成立。-6-类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例7、已知正数满足，试求、的范围。解法一：由，则，即解得，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。又，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。解法二：由，知，则：，由，则：，当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。，当且仅当，并求得时取“=”号，故的

7、取值范围是。评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。四、均值不等式易错例析：例8.求函数的最值。错解：当且仅当即时取等号。所以当时，y的最小值为25，此函数没有最大值。分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件，两个数都应大于零，因而导致错误。因为函数的定义域为，所以必须对的正负加以分类讨论。正解：1）当时，当且仅当即时取等号。所以当时，-6-2）当时，，当且仅当，即时取等号，所以当时，.例9.当时，求的最小值。错解：因为所以当且仅当即时，。分析：用