讲座11 状态变量分析法

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1、讲座11状态变量分析法11.1简介本书除了第10章外，其余各章都把离散时间系统看作一个具有输入-输出两个端口的黑盒，而不关心系统内部状态。这种两端口系统的时域特性用冲激响应或差分方程来表征，而频域特性则用频率响应或系统函数来表征。当然，这些特性存在着意定的数学关系。随着系统理论的发展，人们不再满足只对系统输出变化的了解，对系统内部某些变量的变化规律也感兴趣。此外，实际应用中还会遇到多输入多输出的情况，而且将系统看成是时不变系统也往往不符合客观实际。这样，仅仅用两端口分析法就不够了，所以要引入另一种系统分析方法，即状态变量

2、分析法。利用矩阵线性代数等数学工具对系统进行分析研究。系统的状态就是指系统在某个时刻的状况。状态通常可以用一个数（状态变量）或一组数来描述。状态变量是能够全面确定系统状态的最小的一组变量。数字网络包含相加器、乘法器和延迟单元等部件。但是，并不是每一个网络节点的状态都可以算作一个状态变量。相加器和乘法器构成的节点的状态并不是线性无关的，其中某个节点的状态可以用其它节点的状态的线性组合表出。所以，这些节点的状态不能作为状态变量。换句话说，应该选延迟单元输出端的状态作为状态变量。若延迟单元数目为，则系统的状态向量是维的。为数最

3、少的个状态变量满足线性无关的要求，即：若有（11.1.1）则全部系数必须等于0，即。由此可知，系统的状态向量是维空间中的向量，每一个分量是该向量在两两正交的坐标轴上的投影。系统的状态变量可以从描述系统的物理方程导出，也可以从系统函数导出。第10章讨论卡尔曼滤波器时，举出了从系统的物理方程导出状态变量的例子。下面将说明从系统函数导出状态变量的方法。应该注意，给出系统函数后，可以用不同的结构实现，因此，所选的状态变量数组也不相同。本讲座先介绍由流图建立状态方程和输出方程的方法，然后举例说明用状态分析法求IIR滤波器输出的方法

4、，说明基于状态转移可以设计任何周期序列发生器。最后，说明状态参数矩阵与系统其它结构参数之间的转换关系。11.2由流图建立状态方程和输出方程给出系统函数并选定系统结构后，就应该由系统的输入确定系统内部的状态变量（刷新延迟线），然后由状态变量确定系统的输出。前者是建立状态方程，后者则有赖于输出方程的建立。设系统由以下差分方程描述（11.2.1）则系统函数为15/15（11.2.2）下面假设式（11.2.2）中，，用图11.2.1的直接1型网络实现该系统函数，以此说明状态方程和输出方程的建立。图11.2.14阶节网络图11.2

5、.1中，除状态变量外，、、和都表征各个延迟单元输出端的状态，它们组成的状态向量，构成一条延迟线/。对于图11.2.1的网络，输入、输出以及状态变量的刷新如式（11.2.3）所示。首先，根据输入样点和当前的状态变量组刷新状态变量。然后从状态变量组求输出。之后，刷新状态变量组，从当前的状态变量获得下一个时刻的状态变量，为计算下一个时刻的输出做准备。（11.2.3）15/15实际上，对于每一个输入样点，按照以下算法进行运算：这里，需要注意状态变量的刷新次序。首先被刷新的应该是，使；然后刷新，使，如此等等。延迟线被刷新后，就接收

6、下一个输入样点。由式（11.2.3），得（11.2.4）（11.2.5）下面将式（11.2.4）和式（11.2.5）分别写成两个矩阵方程。由式（11.2.4）得（11.2.6）由式（11.2.5）得（11.2.7a）（11.2.7b）式（11.2.6）称为状态方程，它表示输入样点对状态变量的刷新作用。样点到来后，就可以从当前的状态变量求出下一个时刻的状态变量。所以，状态方程可以由递推方法求解。15/15式（11.2.7）称为输出方程。它表示输出样点与系统当前的状态变量之间的关系。由式（11.2.6）和（11.2.7）可见

7、，阶系统（有个单位延迟支路）的状态方程和输出方程可用矩阵和向量一般地表示为（11.2.8）（11.2.9）在上面的式子中，是单个常数，（‘T’表示转置）（11.2.10a）（11.2.10b）（11.2.10c）（11.2.10d）在单输入单输出情况下，一般状态变量分析法可以表示为图11.2.2。图11.2.2状态变量分析法图11.2.2反映状态变量分析法中各参数矩阵的物理意义。下面对单输入单输出系统加以说明。矩阵代表时刻的状态向量对时刻的状态向量的转移效应。元素代表时刻节点的状态对时刻节点的状态的影响；矩阵代表输入信号

8、对下一个时刻的状态向量的影响；矩阵代表时刻的状态向量对当前输出的贡献；在单输入单输出系统中，矩阵退化为常数，它代表当前的输入对输出的贡献。图中，是一个延迟算子。在程序控制下，当前时刻求出的15/15便成为下一个时刻的状态向量，被转移到图中的黑色实心圆点。【例11.2.1】IIR直接型系统流图及其参数如图11.2.3所