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时间:2018-12-01
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1、反矩陣與行列式東海大學物理系‧數值分析DefinitionI:單位矩陣,Iij=dij對一n×n矩陣A,若存在另一n×n矩陣B使得AB=I,則稱A為可逆(invertible)或非奇異(nonsingular)矩陣,B則可寫為A-1若A-1不存在,則稱A為不可逆(noninvertible)或奇異(singular)矩陣利用高斯消去法求矩陣若已知矩陣A之元素為aijfor1≦i,j≦n,欲求A-1之元素bijfor1≦i,j≦n,根據定義:利用高斯消去法求矩陣根據矩陣乘法的定義,我們可以將這個矩陣方程式拆成n個n變數聯立方程式aij為已知,是方程式的係數,bij則是未知數,分別以高斯消去法解出
2、這n組方程式,即可求出全部的bij利用高斯消去法求矩陣我們也可以將全部的方程式合併,寫成一個n×2n的增廣矩陣:之後再使用高斯消去法,將前半部變成單位矩陣,後半部即是反矩陣的解行列式(Determinant)行列式的定義:以高斯消去法求行列式值根據行列式以上的特性,我們可以用高斯消去法將原矩陣變為上三角或下三角矩陣,再將對角線元素相乘即可得行列式值,例如:可得行列式值為2×(1/2)×3×13=39上下三角矩陣分解在高斯消去法的過程中,我們可以將原始矩陣A分解為兩個矩陣相乘A=LU,其中L為上三角矩陣、U為下三角矩陣上下三角矩陣分解使用時機:當程式需要解許多次與A有關的線性系統時,先將A做上下
3、三角分解,可得到較高的計算效率L即為高斯消去所得之上三角矩陣,U的對角線元素皆為一,其他非零元素則為消去過程中之mki=aki/aii,如下例所示:AUL
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