《导数的运算》ppt课件

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1、导数的运算()=(v0).uv-uvv2uv一、复习目标掌握两个函数的和、差、积、商的导数运算法则,了解复合函数的求导法则,会求某些函数的导数.二、重点解析在运用导数的四则运算法则进行简单函数的求导时,要熟记常见函数的导数公式及运算法则.对复合函数的求导,要搞清复合关系,选好中间变量,分清每次是对哪个变量求导,最终要把中间变量换成自变量的函数.三、知识要点1.函数的和、差、积、商的导数:(uv)=uv;(uv)=uv+uv;(cu)=cu(c为常数);2.复合函数的导数设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x),函数y=f(

2、u)在点x的对应点u处有导数yu=f(u),则复合函数y=f((x))在点x处有导数,且yx=yu·ux.或写作fx((x))=f(u)(x).即复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.典型例题1解:(1)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)=4x(3x-2)+(2x2+3)3求下列函数的导数:(1)y=(2x2+3)(3x-2);(2)y=x2sinx+2cosx;(2)y=(x2sinx)+(2cosx)=18x2-8x+9.法2y=(6x3-4x2+9x

3、-6)(3)y=(x+1)(-1).x1=18x2-8x+9.=(x2)sinx+x2(sinx)+2(cosx)=2xsinx+x2cosx-2sinx.典型例题1求下列函数的导数:(3)y=(x+1)(-1).x1解:(3)y=(x+1)(-1)+(x+1)(-1)x1x1=(x+1)(x--1)+(x+1)(x--1)12121212=x-(x--1)+(x+1)(-x-)121212321212=x-1-x--x-1-x-123212121212=--2x12xx1=-.2xxx+1=--2x12xx1法2∵y=1-x+-1=-x,x

4、1x1x1∴y=(-x)=-.2xxx+1典型例题2已知f(x)的导数f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,且f(0)=2a,若a≥2,求不等式f(x)<0的解集.解:∵f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,∴可设f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.∵f(0)=2a,∴b=2a.∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a=x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a)=(x-a)(x2-x-2)=(x+1)(x-2)(x-a)令(x+1)(x-2)(x-a)<0,由于a≥2,则当a=2时,不等式f(x)<0的解集为(-∞,-

5、1);当a>2时,不等式f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(2,a).典型例题3设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t).(1)求切线l的方程;(2)求S(t)的最大值.解:(1)∵y=(e-x)=-e-x,∴切线l的斜率为-e-t,切线l的方程为y-e-t=-e-t(x-t),即e-tx+y-e-t(t+1)=0.(2)令y=0,得x=t+1;令x=0,得y=e-t(t+1).∴S(t)=(t+1)e-t(t+1)12=(t+1)2e-t(t≥0).1212又S(t)=e-t(1-t)(1+t

6、),令S(t)>0,得0≤t<1;令S(t)<0,得t>1.∴S(t)在[0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数.∴S(t)max=S(1)2e=.典型例题4求曲线y=x3+3x2-5过点M(1,-1)的切线方程.解:由y=x3+3x2-5知y=3x2+6x,设切点为P(x0,y0),则y

7、x=x0=3x02+6x0,曲线在点P处的切线方程为y-y0=(3x02+6x0)(x-x0).又切线过点M(1,-1),∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),即y0=3x03+3x02-6x0-1.而点P(x0,y0)在曲线上,满足y0=x03+3

8、x02-5,∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1.整理得x03-3x0+2=0.解得x0=1或x0=2.∴切点为P(1,-1)或P(-2,-1).故所求的切线方程为9x-y-10=0或y=-1.典型例题5已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有相同的切线.(1)求实数a,b,c的值;(2)设函数F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的单调区间,并指出函数F(x)在该区间上的单调性.解:(1)∵f(x)=2x3+ax的图象过点P(2,0),∴a=-8.∴f(x)=2x3-8x.∴f(x)=6

9、x2-8.∵g(x)=bx2+c的图象