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1、第一节导数及其运算返回目录1.导数的概念若函数y=f(x)在x0处的增量Δy与自变量的增量Δx的比值,当Δx→0时的极限lim=存在,则称f(x)在x0处可导,并称此极限值为函数f(x)在x0处的导数,记为或.Δx→0y′
2、x=x0f′(x0)返回目录2.导函数如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说f(x)在区间(a,b)内可导,其导数也是开区间(a,b)内的函数,又称作f(x)的导函数,记作或.3.函数f(x)在x0处的导数函数f(x)的导函数f′(x)在x=x0处的函数值即为函数f(x)在x0处的导数.4.导数的几何
3、意义(1)设函数f(x)在x0处可导,则它在该点的导数等于函数所表示的曲线在相应点M(x0,y0)处的.(2)设s=s(t)是位移函数,则s′(t0)表示物体在t=t0时刻的.f′(x)y′f′(x0)切线的斜率瞬时速度返回目录(3)设v=v(t)是速度函数,则v′(t0)表示物体在t=t0时刻的.5.常用的导数公式C′=(C为常数);(xm)′=(m∈Q);(sinx)′=;(cosx)′=;(ex)′=;(ax)′=;(lnx)′=;(logax)′=.6.导数的运算法则［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x),［Cf(x)］′
4、=Cf′(x)(C为常数),加速度0mxm-1cosx-sinxexaxlnalogae［f(x)g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),7.复合函数求导的运算法则一般地,设函数u=φ(x)在点x处有导数u′x=φ′(x),函数y=f(u)在u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有导数,且y′x==.返回目录返回目录考点一导数的定义用导数定义求函数y=f(x)=在x=1处的导数.【分析】利用导数定义求函数的导数应分三步：①求函数增量Δy;②求平均变化率;③求极限lim.Δx→0题型分析返回目录【评
5、析】本题的关键是对的变形.【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)＊对应演练＊利用导数定义求导:（1）y=x2在x=2处的导数值;（2）y=在x=1处的导数值.返回目录返回目录返回目录考点二利用导数公式求导求下列函数的导数:(1)y=-3x3-7x2+1;(2)y=ln
6、x
7、;(3)y=;(4)y=3xex-2x+e;(5)y=;(6)y=xcosx-sinx.【分析】直接应用导数公式和导数的运算法则.返回目录【解析】(1)y′=(2)当x>0时，y=lnx,y′=;当x<0时，y=ln(-x),y′=()·(-1)=.∴y′=.(3)返回目
8、录返回目录(4)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′+0=3xln3·ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2.(5)y′=(6)y′=(xcosx)′-(sinx)′=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.【评析】熟练运用导数的运算法则及复合函数的求导法则，并进行简单的求导数运算，注意运算中公式使用的合理性及准确性.返回目录返回目录＊对应演练＊求下列函数的导数:（1）y=x2sinx;（2）y=（3）y=cos(2x2+1);（4）y=ln(x+).（1）y′=(
9、x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.（2）y′=返回目录（3）y′=-sin(2x2+1)(2x2+1)′=-4xsin(2x2+1).（4）y′=返回目录考点三求复合函数的导数求下列函数的导数:(1)y=sin(2x+);(2)y=log2(2x2+3x+1).【分析】形如f(ax+b)型函数的导数,可用复合函数的求导法则.返回目录【解析】(1)解法一:设y=sinu,u=2x+,则y′x=y′u·u′x=cosu·2=2cos(2x+).解法二:y′=cos(2x+)·(2x+)′=2cos(2x+).返回
10、目录返回目录(2)解法一:设y=log2u,u=2x2+3x+1,则y′x=y′u·u′x=·log2e·(4x+3)=(4x+3)=log2e.解法二:y′=［log2(2x2+3x+1)］′=(2x2+3x+1)′=(4x+3)=log2e.【评析】求形如f(ax+b)型复合函数的导数,一般要利用求导法则求导,将问题转化为基本函数的导数解决,具体地:(1)要分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量.(2)分步计算中每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别需要注意中间变量的系数.(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法
11、则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.(4)对较复杂的函数,要先化简再求导以简化运算过程.返回目录返回目录＊对应演练＊求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=si
