《导数及其运算上》PPT课件

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1、第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)微分学导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为§2.1.1导数的概念引例2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间

2、增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题定义1设函数在点存在,并称此极限为记作即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的切线斜率若上述极限不存在,在点不可导.若也称在若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就说函数就称函数在I内可导.的导数为无穷大.原式是否可按下述方法作:例1.证明函数在x=0不可导.证:不存在,例2.设存在,求极限解:原式例3.求函数(C为常数)的导数.解即例4.

3、求函数解说明：对一般幂函数(为常数)例如，函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.即在点的某个右邻域内单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)例如,在x=0处有定义2.设函数有定义,存在,定理2.函数在点且存在简写为在点处右导数存在定理3.函数在点必右连续.(左)(左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间内可导,在闭区间上可导.可导的充分必要条件是且导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升

4、;若曲线过下降;若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:例5.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;思考与练习1.函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数2.设存在

5、,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可导,且5.设,问a取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.考研真题1.设函数，则在内（）（A）处处可导（B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点解：，有不可导点选C。解:因为2.设存在,且求所以在处连续,且，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.3.设故作业P124第1题中选一小题P124第2题中选一小题P127第9题P127第11题P127第12、13题中选一题例1.求函数的导数.解:则即类似可证得§

6、2.1.2导数的基本公式与运算法则解即特别地,例2.例3.求函数的导数.解:即或四则运算求导法则定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.此法则可推广到任意有限项的情形.证:设,则故结论成立.例如,(2)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)(3)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)例4.求下列函数的导数例5.求证证:类似可证:作业P125第5题中选2小题P125第6题中选一小题在点x可导,§2.1.3复合函数求导法则定理.在点可导复合函数且在点x可导,证:在点u可导,故（当时

7、)故有例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.解解例2.例1.例3.求下列导数:解:(1)(2)(3)说明:类似可得例4.设求解:思考:若存在,如何求的导数?这两个记号含义不同例5.设解:作业P126第7题中选3小题P127第8题§2.2.4反函数和隐函数的导数定理.y的某邻域内单调可导,证:在x处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知因此例1.求反三角函数及指数函数的导数.解:1)设则类似可求得利用,则2)设则特别当时,小结:常数和基本初等函数的导数例2.求解:例3.设解:求例4.求解:关键:搞

8、清复合函数结构由外向内逐层求导*例5.设求解:隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函