《二阶微分方程》ppt课件

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1、5.3二阶微分方程主要内容1.可降阶的二阶微分方程2.二阶常系数线性微分方程1一、可降阶的二阶微分方程这类二阶微分方程的特点是，经过适当的变换将二阶微分方程化为一阶微分方程，然后用前一节介绍的方法来求解．下面介绍三种可降阶的二阶微分方程的解法.2就得到一个一阶微分方程，即两边再积分，即连续积分两次就能得到方程（1）的通解．只要连续积分n次，即可得到含有n个任意常数的通解．是最简单的二阶微分方程，（1）方程两边积分，得同理，对于方程（2）3例1解对所给的方程连续积分三次，得这就是所求方程的通解．4因而方程(3)就变为这是一个关于变量x,p的一阶微分方程，可以用前一节所介绍的方法求

2、解．方程(3)的右边不显含未知函数y．5例2解这是关于p的一阶线性非齐次微分方程．因为从而所求微分方程的通解为于是即所以6例3解代入方程并分离变量后，得两端积分，得再积分，得即所以于是所求的特解为7为了求出它的解，利用复合函数的求导法则，于是方程(4)就变为这是一个关于变量y,p的一阶微分方程.设它的通解为分离变量并积分，得方程(4)的通解为方程(4)中不显含自变量x．8例4解方程不显含自变量x，代入方程，得那么约去p并分离变量，得两端积分并进行化简，得再一次分离变量并积分，得显然它也满足原方程．如果p0，或或如果P=0，那么立刻可得y=C，已被包含在解中了但y=C所以方程的

3、通解为9例5解两边积分，得即为所求的满足初始条件的特解．代入原式，得即或积分后，得代入上式整理后得10二、二阶常系数线性微分方程定义１方程(5)叫做二阶常系数线性微分方程，其中p、q是常数．下面来讨论二阶常系数线性微分方程的解法．方程(5)叫做二阶常系数线性微分方程．方程(5)叫做二阶常系数线性非齐次微分方程.111．二阶常系数线性齐次微分方程的通解定理1这个定理表明了线性齐次微分方程的解具有叠加性．叠加起来的解(7)从形式上看含有与两个任意常数，但它还不一定是方程(6)的通解．先讨论二阶常系数线性齐次微分方程(6)的解的结构．那么(7)也是方程(6)的解，其中是任意常数．12

4、那么在什么情况下(7)式才是(6)式的通解呢？为了解决这个问题，下面给出函数线性相关与线性无关的定义：因此，当时，如果不恒等于一个常数，则与就是线性无关的．显然，对于两个线性相关的函数和，恒有对于两个都不恒等于零的函数与，那么把函数与叫做线性相关；否则就叫做线性无关．如果存在一个常数C使，13二阶常系数线性齐次微分方程(6)的通解结构定理：由此可知，求二阶常系数线性齐次微分方程(6)的通解，定理2就是方程(6)的通解，其中是任意常数．关键在于求出方程的两个线性无关的特解和．而当r为常数时，指数函数和它的各阶导数都只相差一个常数因子．因此，我们可以设想二阶常系数齐次方程式的特解也

5、是一个指数函数，只要求出r,便可得到方程(6)的解．如果函数是常系数线性齐次微分方程(6)的两个线性无关的特解，那么14所以上式要成立就必须有(8)反之，若r是方程(8)的一个根，特征方程的根称为特征根．方程(8)是以r为未知数的二次方程，我们把它称为微分方程(6)的特征方程，这就是说，如果函数是方程(6)的解，那么r必须满足方程(8)．将和它的一、二阶导数代入方程(6)，得到因为，则是方程(6)的一个特解．其中和r的系数，以及常数项恰好依次是微分方程(6)中、及y的系数．15特征根是一元二次方程的根，因此它有三种不同的情况：(1)特征根是两个不相等的实根r1≠r2，且线性无关

6、，此时均为方程(6)的特解，因此方程(2)的通解为:（9)(2)特征根是两个相等的实根r1=r2，此时和方程(2)的特解，且线性无关，所以方程(6)的通解为：（10）(3)特征根是一对共轭复根r1,2=α±βi，这时和是方程(6)的两个特解，但这两个解含有复数，此时可以证明函数和也是方程(6)的解，且它们线性无关．于是得方程(2)的通解为：（11)16例6解所给方程的特征方程为其对应的两个线性无关特解为求方程的通解．解得特征根为，所以方程的通解为17例7解为确定满足初始条件的特解，对y求导，得求方程的满足初始条件和的特解．所给方程的特征方程为所以特征根为因此方程的通解为将初始条

7、件和代入以上两式，得解得于是，原方程的特解为18例8解所以原方程的通解为其对应的两个线性无关特解为求方程的通解．特征方程为特征根为19综上所述，的根特征方程方程通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根(3)根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程(6)的通解：求二阶常系数线性齐次微分方程的通解步骤如下：（6）(2)求出特征方程的两个根与；(1)写出方程对应的特征方程；20三、二阶常系数线性非齐次微分方程的通解定理3Y是与方程（5）对应的齐次方程（6）的通解，那么由这个定理可知：求