多元复合函数的求导法则教学

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1、第四节多元复合函数的求导法则一、链锁法则二、全微分的形式不变性一、链锁法则引入：复合函数怎样求它的偏导数？问：若上面三个函数都是具体函数，那么，它们的复合函数也是具体函数，当然，我们会求它的偏导数。但是，若上面三个函数中至少有一个是抽象函数，那么，它们的复合函数也是抽象函数，它的偏导数又怎么求？这是一个新问题，要求出这样一个函数的偏导数，还需要新的公式。这就是下面要研究的多元函数的求导法则（或链锁法则）。定理1设函数及都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数在点t可导，且有1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形按照多元复合函数不同的复合情形，分两种情

2、形来讨论：将上式两边同时除以，得证：这时的对应增量为获得增量由第三节定理2的证明过程，我们可得到由此，函数z=f(u,v)相应地其中，令取极限，得，即即===如果函数都在点t可导，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)具有连续偏导数，则复合函数在点t的导数存在，且有注2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2如果函数及在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数在点(x,y)的两个偏导数存在，且有已知对y的偏导数，在点(x,y)具有对x及函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，现在，将y取定为常数，则由定理

3、1得+得复合函数对x的偏导数存在，且有同理，将x取定为常数，则可得（4）式.此即（3）式.为了掌握复合函数的求导法则，可画复合函数结构示意图，由示意图可清楚地看出哪些是中间变量，哪些是自变量，以及中间变量和自变量的个数，公式(3)、(4)的示意图如下：zuvxy在点(x,y)的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：设都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)有连续偏导数，则复合函数注(1)求下列函数的复合函数的导数或偏导数(3)(2)解(1)+=+=+(2)++=++++=(3)+相同,但所表示的意思不同!必须加以区别!对自变量x的偏导数对中间变

4、量x的偏导数为了避免混淆,一般地,将对中间变量的偏导数记为将对自变量的偏导数记为例如上面的(3)可写为:++=+++=+注意：这里与是不同的，是把复合函数中的y看作常数而对x的导数,是把f(u,x,y)中的u及y看作常数而对x的导数.与也有类似的区别.由复合函数求导法则得解：=+=+例2解：+=+=+=+++==例3解：++=++解：+=+解注例6设，f具有二阶连续偏导数,求这里下标1表示对第一个中间变量u求偏导数，下标2表示对第二个中间变量v求偏导数.解同理有因所给函数由w=f(u,v)及u=x+y+z，v=xyz复合而成，所以根据复合函数求导法则，有[]=[]=++根据复合函数求导法则

5、，有+=++=+仍是x,y,z的复合函数，++=++()+=+例7设u=f(x,y)的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标系中形式.解==由（1）式得这样，可看作由复合而成.得两式平方后相加，得根据复合函数求导法则，得=+=再求二阶偏导数，得=+==[]=+同理可得两式相加，得二、全微分形式不变性:设函数具有连续偏导数，则有全微分若u、v又是x、y的函数,，且这两个函数也具有连续偏导数,则复合函数的全微分为所谓全微分的形式不变性是指:无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分的形式不变性.=+证=+例8用全微分形式不变性解下题:解:

6、将du、dv代入，得即作业P822,4,6,8,9,11,12(1),13.