《序列的傅里叶变换的定义和性质

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1、信号和系统的两种分析方法：(1)模拟信号和系统信号用连续变量时间t的函数表示；系统则用微分方程描述；信号和系统的频域分析方法：拉普拉斯变换和傅里叶变换；(2)时域离散信号和系统信号用序列表示；系统用差分方程描述；频域分析的方法是：Z变换或傅里叶变换；引言时域分析方法和频率分析方法序列的傅里叶变换的定义和性质1序列傅里叶变换的定义称为序列x(n)的傅里叶变换，用FT(FourierTransform)缩写字母表示。FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：序列的傅里叶变换的定义和性质序列的傅里叶变换对序列的傅里叶变换的定

2、义和性质[例]:设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT序列的傅里叶变换的定义和性质[例]:设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT设N=4，幅度与相位随ω变化曲线如下图所示P36例题2.1.2序列的傅里叶变换的定义和性质2.2.2序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性在FT定义式中，n取整数，因此下式成立结论：(1)序列的傅里叶变换是频率ω的连续周期函数，周期是2π。(2)X(ejω)可展成傅里叶级数，x(n)是其系数。X(ejω)表示了信号在频域中的分布规律。(3)在ω＝0,±2π,±4π…表示信号的直流分量，在ω＝(2M＋1)π时是最高

3、的频率分量。一般只分析信号在一个周期的FTM为整数序列的傅里叶变换的定义和性质2.线性3.时移与频移设X(ejω)=FT[x(n)]，那么设：则：式中a,b为常数)改变相位序列的傅里叶变换的定义和性质4.FT的对称性(1)共轭对称序列共轭对称序列xe(n)满足：将xe(n)用其实部与虚部表示：上式两边n用-n代替，取共轭：得到：xe(n)=x*e(-n)xe(n)=xer(n)+jxei(n)x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)xer(n)=xer(-n)xei(n)=-xei(-n)实部是偶函数虚部是奇函数序列的傅里叶变换的定

4、义和性质(2)共轭反对称序列共轭反对称序列满足：将x0(n)用其实部与虚部表示：上式两边n用-n代替，取共轭：对比上面两公式，左边相等，因此得到xo(n)=－x*o(-n)xo(n)=xor(n)+jxoi(n)x*o(-n)=xor(-n)－jxoi(-n)实部是奇函数虚部是偶函数xor(n)=－xor(-n)xoi(n)=xoi(-n)序列的傅里叶变换的定义和性质[例1]试分析x(n)=ejωn的对称性解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=ejωn因此x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列。将序列展成实部与虚

5、部的形式，得到x(n)=cosωn+jsinωn上式表明:共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。序列的傅里叶变换的定义和性质(3)任意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和xe(n),xo(n)和原序列x(n)有何关系？将上式中的n用-n代替，取共轭：根据上面两式，得到x*(-n)=xe(n)-xo(n)x(n)=xe(n)+xo(n)序列的傅里叶变换的定义和性质(4)频域函数X(ejω)的对称性任意频域函数X(ejω)可表示成共轭对称部分和共轭反对称部分之和：X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)Xe(ejω)=X*e(e

6、－jω)Xo(ejω)=－X*o(e－jω)Xe(ejω),Xo(ejω)和原频域函数X(ejω)的关系序列的傅里叶变换的定义和性质(5)研究FT的对称性(a)将序列x(n)表示成实部xr(n)与虚部xi(n)的形式x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行FT，得到:X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对称的FT具有共轭对称性，虚部（包含j）一起对应的FT具有共轭反对称性。xi(n)序列的傅里叶变换的定义和性质(b)序列表示成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)之和其中：将上面两式

7、分别进行FT，得到FT[xe(n)]=1/2[X(ejω)+X*(ejω)]=Re[X(ejω)]=XR(ejω)FT[xo(n)]=1/2[X(ejω)-X*(ejω)]=jIm[X(ejω)]=jXI(ejω)结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ejω)，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部[jXI(ejω)]。x(n)=xe(n)+xo(n)序列的傅里叶变换的定义和性质总结：序列傅里叶变换的共轭对称性的基本内容如下：x(n)=xr(n)+jxi(n)X(ejw)=Xe(ejw)+Xo(ejw)x(n)=

8、xe(n)+xo(n)X(ejw)=XR(ejw)+jXI(ejw)FTFT序列的傅里叶变换的定义和性质(6)研究实因果序列h(n)的对称性因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对