正文描述:《序列的傅里叶变换的定义及性质.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1引言信号和系统的分析方法分:时域(timedomain)和频域(frequencydomain)分析方法。时域离散信号和系统中,信号用序列表示,其自变量不是连续变化的时间t,而是整数。系统则用差分方程来描述,频域分析采用Z变换或Fourier变换。其中,Fourier变换和模拟信号的Fourier变换不同,但都是线性变换,有很多共性。2.2序列的Fourier变换的定义及性质2.2.1序列Fourier变换的定义定义为序列x(n)的Fourier变换,可用FT(FourierTransform)表示。FT成立的充要条件是序列x
2、(n)满足绝对可和条件,即FT的逆变换故有例2.2.1设x(n)=RN(n),求x(n)的傅里叶变换。解(2.2.4)当N=4时,其幅度与相位随频率ω的变化曲线如图2.2.1所示。图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线2.2.2序列Fourier变换的性质1.FT的周期性在定义(2.2.1)式中,n取整数,故下式成立因此,序列的Fourier变换是频率ω的周期函数,周期为2π.在ω=0和ω=2πM附近的频谱分布是相同的,在ω=0,±2π,±4π…点上表示信号x(n)的直流分量(见图2.2.2(a))。而离开这些点越远,其频率应越高
3、,但又是以2π为周期的,则最高的频率应是ω=π(或ω=(2M+1)π)。例如,x(n)=cosωn,当ω=2πM,M取整数,x(n)的序列值如图2.2.2(a),代表直流分量;当(2M+1)π时,x(n)的波形如图2.2.2(b)所示,代表最高频率信号,是一种变化最快的信号。由于FT的周期性,一般只需分析±π之间或0~2π之间的FT即可。图2.2.2cosωm的波形2.FT的线性则有3.FT的时移与频移4.FT的对称性共轭对称序列。将上式两边的n用-n替换,并取共轭,得到:对比上面两公式,因左边相等,故有可知,共轭对称序列其实部是
4、偶函数,虚部是奇函数。共轭反对称序列。同法可得可知,共轭反对称序列其实部是奇函数,虚部是偶函数。例2.2.2试分析序列的对称性解:因x(n)满足式(2.2.10),所以是共轭对称序列,且可展为对一般序列,可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示,即:并可用原序列x(n)分别求出共轭对称序列与共轭反对称序列:见P36对于频域函数也有和前面类似的概念和结论:同样有如下公式:研究FT的对称性,可从两部分进行分析(a)将序列x(n)分成实部xr(n)和虚部xi(n),即式中FT后得到上面两式中,xr(n)和虚部xi(n)都是实数序列。容易证明:
5、具有共轭对称性。具有共轭反对称性。(b)将序列x(n)分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n),即由式(2.2.18)和(2.2.19)FT后有结论:序列x(n)共轭对称部分对应FT的实部,反对称部分对应FT的虚部。和(a)的结论比较?5.时域卷积定理设则有证明令k=n-m,则对LSI系统,求系统输出时,可在时域用(1.3.7),在频域用(2.2.31)6.频域卷积定理设y(n)=x(n)h(n)则(2.2.32)证明(2.2.33)7.帕斯维尔(Parseval)定理证明Parseval定理说明:信号在时域的总能量等于
6、频域的总能量。
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