周期序列的傅里叶变换DTFT.ppt

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1、第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1引言2.2序列的傅里叶变换的定义及性质2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系2.5序列的Z变换2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性2.1引言1.时域分析方法2.频率分析方法信号和系统的两种分析方法:本章讲述离散序列的傅里叶变换和z变换，学习信号与系统的频域分析法。2.2序列的傅里叶变换的定义及性质(2.2.1)用DTFT(DiscreteTimeFourierTransform)缩写字母表示。2.2.1序列傅里叶变换的定义DTFT成立的充分必要条件是:序列x(n)满足绝对

2、可和的条件，即满足下式：(2.2.2)单位阶跃序列u(n)不满足上式,故其傅里叶变换不能用定义式直接计算.为求DTFT的反变换，用乘(2.2.1)式两边，并在-π~π内对ω进行积分，得到因此式中(2.2.4)证明例2.2.1设x(n)=RN(n)，求x(n)的DTFT.解：(2.2.5)设N=4，幅度与相位随ω变化曲线如图2.2.1所示。0图2.2.1R4(n)的幅频与相频曲线图2.2.1-1序列R4(n)N=404M为整数(2.2.6)2.2.2序列傅里叶变换的性质1.DTFT的周期性n取整数，因此下式成立在定义式中，结论:序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。在ω=0,

3、±2π,±4π,…点上表示x(n)的直流分量;ω=π是最高频率。(c)n1234567891011122.线性那么设(2.2.7)式中a,b为常数设X(ejω)=DTFT［x(n)］，那么(2.2.8)(2.2.9)3.时移与频移4.DTFT的对称性(1)共轭对称与共轭反对称以及它们的性质如果序列xe(n)满足下式：xe(n)=x*e(-n)(2.2.10)则称xe(n)为共轭对称序列。将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)将xe(n)用其实部与虚部表示xe(n)=xer(n)+jxei(n)因此得到xer(n)=xer(-n)(2.2

4、.11)xei(n)=-xei(-n)(2.2.12)结论:共轭对称序列的实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的称共轭反对称序列xo(n)=-x*o(-n)(2.2.13)并且有xor(n)=-xor(-n)(2.2.14)xoi(n)=xoi(-n)(2.2.15)结论:共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。实部是偶函数，虚部是奇函数。例2.2.2试分析x(n)=ejωn的对称性解将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=ejωn因此x(n)=x*(-n)即x(n)是共轭对称序列。将x(n)展成实部与虚部，得到x(n)=cosωn+jsinωn(

5、2)离散时间序列的DTFT的对称性对于一般序列可表示成x(n)=xe(n)+xo(n)=xr(n)+jxi(n)(2.2.18)(2.2.19)对应的频域函数X(ejω)也有和上面类似的概念和结论：X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)式中Xe(ejω)与Xo(ejω)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分。它们满足DTFT的对称性例：的DTFT为证明：(3)实序列的对称性如果h(n)是实序列，其频率函数的共轭反对称部分Ho(ejω)=DTFT[jhi(n)]为零。故其DTFT只有共轭对称部分He(ejω)，即H(ejω)=He(ejω)而共轭对

6、称部分He(ejω)由下式求出He(ejω)=[H(ejω)+H*(e-jω)]/2所以H(ejω)=He(ejω)=[H(ejω)+H*(e-jω)]/2由此推出H(ejω)=H*(e-jω).结论：实序列的傅立叶变换是共轭对称的.而且频域函数的实部是偶函数，而虚部是奇函数.用公式表示为HR(ejω)=HR(e-jω)HI(ejω)=-HI(e-jω)(4)因果实序列的确定实序列h(n)可如下分解：h(n)=he(n)+ho(n)其中he(n)=［h(n)+h(-n)]/2ho(n)=［h(n)-h(-n)]/2如果h(n)是实因果序列，按照上面两式he(n)和ho(n)可以用下式

7、表示：0实因果序列h(n)也可分别用he(n)和ho(n)表示为h(n)=he(n)u+(n)(2.2.29)h(n)=ho(n)u+(n)+h(0)δ(n)(2.2.30)(2.2.31)例2.2.3x(n)=anu(n);0