二次函数最值应用探讨

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1、二次函数最值应用探讨刘晓明（广州市艺术学校，广东广州510520）摘要：二次函数的最值是函数中比较重要的教学内容，日常生产和生活中的许多问题都可以转化为求二次函数的最值来解决，所以它的应用十分广泛。本文首先从我校学生熟悉的专业情境出发，引出求二次函数的最值问题，然后具体分析二次函数在x∈R及x∈[m,n]闭区间最值的求法以及二次函数在x∈[m,n]的区间内的最值是在[m,n]的端点上还是在二次函数的顶点上。关键词：二次函数最值应用二次函数是函数中比较重点内容，特别是在数学应用性问题中经常遇到有关用料（时）最省、成本最

2、低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值。下面从艺术学校学生熟悉的或与专业相关的实际问题出发，讨论用二次函数最值解决实际问题。进而讨论二次函数在不同的定义域情况下最值的求法及其应用。问题1、杂技专业学生演员在进行杂技表演时，学生演员从跷跷板的右端A处弹跳到人梯顶端椅子的B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线：y=-的一部分。如图：⑴求学生演员弹跳离地面最大高度⑵已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起点A的水平距离是4米。问这次表演是否成功？说明理由分析：（1）学生演员从A端弹跳的最大高度为

3、：y===4.75（米）（2）这次演出能成功，因为演员挑起的最大高度y=4.75米＞人梯高度BC=3.4米。所以演出能成功。上面的实际问题就转化为求二次函数的最值问题。下面我们讨论一下二次函数最值在二次函数定义域不同时，最值存在两种具体情况：1.二次函数的定义域在x∈R上，求二次函数的最值当y=a+bx+c(a≠0)的定义域x∈R时，二次函数的图像是一条抛物线。当抛物线的开口向上时，函数存在最小值；当抛物线开口向下时，函数存在最大值，这时二次函数的最值是在顶点处达到的，即当x=-，最值为y=，2.二次函数的定义域在x

4、∈[m,n]上，求二次函数的最值当y=a+bx+c(a≠0)的定义域在x∈[m,n]这个闭区间时，函数的图像只是原来抛物线的一部分，此时函数图象是一段连续的曲线。我们知道，在连续曲线上一定存在最大值与最小值，但此时函数的最值就不一定是在顶点处达到。我们先结合图像看一个基本的结论：设106y=ax+bx+c(a>0),则二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值有如下分布情况。<<―<－<,即－<－<<图像yχ=++c=0(a>уχ0mn0mn=++c=0(a>уχ0mn=++c=0(a>最大值最小值====－==对于

5、开口向下的情况，讨论类似。我们看到无论是开口向上还是开口向下，都只有以下两个结论：（1）若x=-∈[m,n]时,则=max｛f(m),f(-),f(n)｝=min｛f(m),f(-),f(n)｝(2)若x=-[m,n]时,则=max｛f(m),f(n)｝=min｛f(m),f(n)｝上面的结论说明，在闭区间上的二次函数的最值必然在闭区间的两个端点或函数的顶点上取到。这个结论是我们解决最值问题的根本。我们在求二次函数最值时，经常会用到这个结论。应用这个结论，会使复杂的问题更容易解决。当函数解析式或区间中不含有参数时，只

6、需求出区间两端点处和顶点处的函数值，比较函数值的大小就能得到函数在闭区间上的最值。但是函数中含有参数时，函数在这三点中哪一个点上取得最大值或是最小值就要根据对称轴与区间的相对位置分类讨论，现对开口向上的情况进一步加以探究，假定抛物线开口106向上，函数在对称轴左边是单调递减的，在对称轴右边是单调递增的。另外，通过观察函数的图像还可以知道：当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大。我们可以下结论（为了讨论方便，记对称轴为x=h）⑴对称轴在区间左边，即h

7、)；⑵对称轴在区间右边，即h>n时，最大值为f(m)，最小值为f(n)；⑶对称轴在区间上，且偏向于右边，即≤h≤n时，最大值为f(m)，最小值为f(h)；⑷对称轴在区间上，且偏向于左边，即m≤h≤时，最大值为f(n)，最小值为f(h)上面的结论是对二次函数开口方向向上的情况，对于函数开口方向向下，通过类似的讨论，不难得出相反的结果。下面通过具体的例子来分类分析这类问题的解法。例1、已知函数f(x)=-2x-3求：(1)当x∈[-2,0]时，求函数f(x)的最值（2）当x∈[t,t+2]时，求函数f(x)的最小值分析:

8、（1）将原函数配方得f(x)=-4对称轴x=1在[-2,0]且在该区间的右侧f(x)的单调递减区间，f（-2）>f(0),所以=f(-2)=5,=f(0)=-3(2)由（1）可知f(x)=-4，而[t,t+2]是变化的区间，需要讨论，若定点不在区间上，则有两种情况出现：①当t+2≤1即对称轴x=1在所考虑区间的右侧时,f(x)在[t,t+2]上