量子环面收缩李代数及其导子和泛中心扩张

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1、中文摘要摘要本文利用收缩（ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ）的方法由两个变量的量子环面构造出一个新的无穷维李代数，并对它进行了研究．本文第一部分研究了这个李代数的结构，并证明它可看成Ⅵｒａｓｏｒｏ．１ｉｋｅ代数的一种Ａｂｅｌ扩张第二部分首先证明了这个李代数是有限生成的，进而研究了它的导子并确定了它的所有导子．最后一部分，通过计算它的二上圈（２．ｃｏｃｙｃｌｅ）进而确定了它的泛中心扩张．关键词：收缩，量子环面，Ｖｉｒａｓｏｒ０．１ｉｋｅ代数，导子，泛中心扩张．‘漳州师范学院理学硕十论文Ⅱ英文摘要ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｕｓｉｎｇｔｈｅｃｏｎ仃ａｃｔｉｏｎｔｅｃ

2、ｈｎｉｑｕｅ，ｗｅｃｏｎｓ饥ＪｃｔａｎｅｗｉｎｆｉｎｉｔｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＬｉｅａｌｇｅｂｒａｆ而ｍｒａｎｋｔｗｏｑｕａｎｔｕｍｔ州．Ｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔｐａｎ，、ｖｅｓｔｕｄｙｍｅｓ仃ｃｔｕｒｅｏｆｔｈｅｎｅｗＬｉｅａｌｇｅｂｒａ，ｗｅｐｒｏｖｅｔｈａｔｉｔｃａｎｂｅｓｅｅｎ嬲ａＡｂｅｌｉｏｎｅＸｔｅｎｓｉｏｎｏｆⅥｍｓｏｒ０－１ｉｋｅａｌｇｅｂｍ．Ｉｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｐａｒｔ，ｗｅｐｒｏｖｅｔｌｌｉｓＬｉｅａｌｇｅｂ豫ｉｓｆ．ｍｉｔｅｌｙｇｅｎｅｒａｔｅｄ，ｔｈｅｎ、）ＩｒｅｓｔｕｄｙｉｔｓｄｅｒｉＶａｔｉｏｎｓ觚ｄｗｅｄｅｔｅｍ

3、：ｌｉＩｌｅａＵｏｆｉｔｓｄｅｒｉＶａｔｉｏＩｌｓ．Ｆｉｌｌａｌｌｙ，ｗｅｃａｌｃｕｌａｔｅ２－ｃｏｃｙｃｌｅｗｈｉｃｈｗｅｏｂｔａｉｎｉｔｓｕｎｉｖｅｒｓａｌｃｅｎｔｒａｌｅｘｔｅｎｓｉｏｎ．ｏｎｔｈｉｓＬｉｅａｌｇｅｂｒａ，６－０ｍＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎＬｉｅａｌｇｅｂｒａ，ｑｕａＩｌｎｌｍｔｏｍｓ，Ⅵｍｓｏｒ０一ｌｉｌ（ｅａｌｇｅｂｒａ，ｄｅｒｉＶａｔｉｏｎｓ，ｕｎｉｖｅｒｓａｌｃｅｎｔＩ．ａｌｅｘｔｅｎｓｉｏｎ．ⅡＩ漳州师范学院理学硕十论文Ⅳ第１章引言第１章引言１．１量子环面、收缩方法及Ｖｉｒａｓｏｒｏ—Ｉ．ｋｅ代数如果没有特别说

4、明本文所讨论的线性空间都是定义在复数域Ｃ上．为简化符号，将用ｎ，ｍ，ｎ。等表示（％，甩２），（，，ｌｌ，％），（，ｌｌ。，疗ｉ２）∈Ｚ２等，用ｆ。表示吖１哆．用ｒ，ｒ．分别表示Ｚ２和Ｚ２＼｛（０，Ｏ）｝．下面首先回顾一下量子环面、收缩（ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ）方法及Ｖｉｒａｓｏｒｏ一１ｉｋｅ代数的定义．取定非零复数ｇ两个变量量子环面是Ｃ上带单位元的结合非交换代数，其生成元为日，彳１，艺，巧１，生成关系为：乞‘＝ｇｆｌｆ２，ｆｆｆｌ＝Ｆ１‘＝１，１≤ｉ≤２．它关于通常的换位子所构成的李代数记为Ｃ。．收缩是通过对已知李代数进行变形而获得新李代数的一种常用方法，文［１

5、］对收缩方法进行了详细介绍．若可是一个李代数，且下列极限存在：【ｘ，ｙ】ｏ＝１ｉｍＨ岛“；１ｋ（ｘ），“。（ｙ）】，其中，“。是日上一族非退化线性映射，“；１是“。的逆，氏是“；１上的一个奇异点，则∥在李括号［－，－】ｏ下是一个李代数，称为∥的一个收缩（ｃｏｎ仃ａｃｔｉｏｎ）李代数．通过收缩可以由一个李代数构造出一个与其存在密切联系的新的李代数，在物理学中收缩是一种十分重要的构造方法．在［２］中，作者利用收缩的方法由两个变量量子环面构造出一个无限维李代数，并称之为Ⅵｒａｓｏｒ０．１ｉｋｅ代数，其定义如下：定义１．１三＝０村。ＣＤ（ｎ），其基元的李关系如下：［Ｄ（

6、ｎ），Ｄ（ｍ）】＝（甩２聊ｌ一，ｚｌ朋２）Ｄ（ｎ＋ｍ），则称Ｌ为Ｖｉｒａｓｏｒｏ。ｌｉｋｅ代数．漳州师范学院理学硕士论文１．２本文所研究的李代数￡的构造事实上，利用收缩的方法由两个变量量子环面还可以构造出其它新的无穷维李代数．令ｑ为一个非零复数且不是单位根，则ｃ：＝［ｃ。，ｃ。】－ｏ村。ｃｆ”，在文［２】中称之为无中心的ｑ类似ｖｉｒ硒ｏｒｏ—ｌｉｋｅ李代数，其基元具有如下李关系：【ｆ“，ｆ“】＝（ｇ也蚋一ｇ一他）尸＋‘．把ｃ。生成关系中的ｑ替换成９２得到的李代数记为ｃ，：，则ｃ：：＝［ｃ。：，ｃ，：】．定义ｃ：：上的线性映射‰，使得则∥）＝（击Ⅺ”）＝ｎｍ毒，笺篙

7、筹广“，／旷，，“】由诺必达法则可知上述极限存在，故可得到ｃ：：的一个收缩李代数，该李代数就是本文要研究的主要对象，记为ｃ，其详细定义如下．定义１．２￡＝ｏ耐。广，并且基元间李运算如下：矿，ｆ“】＝ｏ，当２ｌｎｌ且２ｆｍｌ时；（啊＋１）（％＋１）。（码＋１）（％＋１）’ｎ时为了引用方便，记［尸，ｆｍ】＝ｙ（ｎ，ｍ）ｆ“＋ｍ．塾萼《譬掣，ｍ，当２一ｎ。且２一～；塾掣广ｍ，当２ｆｎ。且２ｍ。时塾掣，ｍ，当２一ｍ。时：一．且２枫一’．第２章李代数Ｌ与Ｖｉｒａｓｏｒｏ一１ｉｋｅ代数的关系第２章李代数￡与ＶｉｒａｓｏｒＯ＿ｌｉｋｅ代数的关系事实上，￡是Ｖｉｒａｓｏ