一类p-%274-阶群的4度cayley图的正规性

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1、摘要设Ｇ是有限群，ｓ是Ｇ的不包含单位元１的子集．如下定义Ｇ关于ｓ的有向ｃａｙｌｅｙ图ｃａｙ（Ｇ，ｓ），其中ｙ（ｃａｙ（Ｇ，ｓ））＝Ｇ，目（ｃａｙ（Ｇ，ｓ））＝｛（９，ｓｇ）Ｉ口∈Ｇ，ｓ∈ｓ＞．如果ｓ＿１＝ｓ，则可以将两条有向边（ｇ，ｈ）和（ｈ，Ｆ）看作一条无向边，从而ｃａｙ（Ｇ，ｓ）可以看作一个无向图，这个图称为Ｇ关于ｓ的ｃａｙｌｅｙ图．明显有ｃａｙｌｅｙ有向图ｃａｙ（Ｇ，ｓ）是连通的当且仅当Ｇ＝＜ｓ＞，并且有Ａｕｔ（Ｇ，ｓ）＝｛Ｑ∈Ａｕｔ（Ｇ）Ｉ铲＝毋是ｃａｙｌｅｙ图ｃａｙ（Ｇ，ｓ）的全自同构群Ａｕｔ（ｃａｙ（Ｇ，ｓ））的一个子群．令９∈Ｇ．由ｚ—ｚ９，Ｖｚ∈

2、Ｇ，我们可定义一个映射Ｒ（ｇ）．很容易证明兄（９）是ｃａｙｌｅｙ有向图ｃａｙ（Ｇ，ｓ）的一个自同构，并且群兄（Ｇ）＝｛Ｒ（９）Ｉｇ∈Ｇ）是Ａｕｔ（ｃａｙ（Ｇ，ｓ））的一个子群，这个群Ｒ（Ｇ）叫做群Ｇ的右正则表示．一个ｃａｙｌｅｙ（有向）图ｃａｙ（Ｇ，ｓ）说是正规的，若Ｒ（Ｇ）是Ａｕｔ（ｃａｙ（Ｇ，ｓ））的正规子群．令ｐ是一个奇素数，Ｇ＝（ａ，６Ｉ矿＝护＝１，ｏ噱ｎ，＋矿）．在本文中，综合运用群论的和组合的方法，我们证明了群Ｇ的所有的４度连通ｃａｙｌｅｙ图都是正规的，同时，得到了群Ｇ的两个４度图正则表示（ＧＲＲ）．关键词：ｃａｙｌｅｙ图；正规ｃａｙｌｅｙ图；ＧＲ

3、ＲＡｂｓｔｒａｃｔＬｅｔＧｂｅａ量ｎｉｔｅｇｒｏｕｐａｎｄｓａｓｕｂ蹴《Ｇｓｕ曲ｔｈａｔ１譬ｓ，ＴｈｅＧ叼ｆｅ可出口ｒ印＾ｃａｙ（Ｇ，ｓ）ｏｎＧｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏｓｉｓｄｅ丘ｎｅｄｔｏｈ扛ｖｅｖｅｒｔｅｘ８ｅｔｙ（ｃａｙ（Ｇ，ｓ））＝ＧａｎｄｅｄｇｅｓｅｔＥ（ｃａｙ（Ｇ，ｓ））＝｛０，３９）Ｉ９∈Ｇ，８∈ｓ）．Ｉｆｓｑ＝ｓｔｈｅｎｃ８ｙ（Ｇ，ｓ），ｃ以１ｅｄａｅＤⅣ！ｅ可ｇｒ印矗，ｉｓｖｉｅＷｅｄａｓａｎｕｎｄｉｒｅｃｔｅｄＦａｐｈｂｙｉｄｅｎｔｉｆｙｉｎｇｔＷｏｏｐｐ砸ｔｅｌｙｄｉｒｅｃｔｅｄｅｄｇｅ８ｗｉｔｈｏｎｅ

4、ｕｎｄｉｒｅｃｔｅｄｅｄｇｅ．Ｉｔｉｓｓｅｅｎｔｈａｔａｃａｙｌｅｙｄｉｇｒａｐｈｃａｙ（Ｇ，ｓ）ｉｓｃｏｎｎｅｃｔｅｄｊｆａｎｄｏｎｌｙｉｆｓｇｅｎｅｒ８ｔｅｓＧ，ａｎｄＡｕｔ（Ｇ，ｓ）＝｛ｎ∈Ａｕｔ（Ｇ）ｌｓ恤＝ｓ）ｉｓａ８ｕｂｇｒｏｕｐｏｆｔｈｅａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍｇｒｏｕｐＡｕｔ（ｃａｙ（Ｇ，ｓ））ｏｆｃａ畎Ｇ，ｓ）．Ｌｅｔｇ∈Ｇ．ＤｅｆｉｎｅａｍａｐＲ（９）ｂｙｚ＿ｚ９，Ｖｚ∈Ｇ．ＩｔｉｓｅａｓｙｔｏｓｈｏｗｔｈａｔＲ（９）ｉｓ腿ａｕｔｏｍｏｒｐｌｌｉｓｍｏｆｔｈｅＣａｙｌｅｙｄｉｇｒａｐｈｃａｙ（Ｇ，Ｓ）ａｎｄｔ

5、ｈｅｇｒｏｕｐＲ（Ｇ）＝｛冗（９）ｌｇ∈Ｇ），ｃａｕｅｄｔｈｅｒｉｇ＾ｔｒｅ９让｛ｎｒｒｅｐｒｅｓｅ礼ｔⅡｔｉＤ礼ｏｆＧ，ｉｓａｓｕｂｇｒｏｕｐｏｆＡｕｔ（Ｃａｙ（Ｇ，ｓ））．ＡＣａｙｌｅｙ（ｄｉ）ｇｒａｐｈＣａｙ（Ｇ，ｓ）ｉｓｃａｌｌｅｄｎＤｒｍｏｆｉｆ＿Ｒ（Ｇ）ｉｓｎｏｒｍａｌｉｎＡｕｔ（ｃａｙ（Ｇ，ｓ））．Ｌｅｔｐｂｅａｎｏｄｄｐｒｉｍｅ，Ｇ＝（Ｇ，６ｌ扩。＝垆＝１，扩＝ｎ１＋ｐ２）．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，、Ⅳｅｐｒｏｖｅｔｈａｔａｌｌｔｅｔｒａｖａ｜ｅｎｔｃｏｎｎｅｃｔｅｄＣａ—ｅｙｇｒａｐｌｌｓｏｆＧａｒｅｎｏｒｍ出ｂｙｇｍ

6、ｕｐｔｈｅｏｒｙａｎｄｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌｔｈｅｏｒｙ，ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｗｅｏｂｔａｉｎｔｗｏＧＲＲｓｏｆＧｏｆｖａｌｅｎｃｖ４．ＫｅｙＷｂｒｄｓ：Ｃａｙｌｅｙｇｒ印ｈ；ＮｏｒｍａｌＣａｙｌｅｙｇｒ印ｈ；ＧＲＲ２郑重声明本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后果，特此郑重声明．学位论文作者（签名）：王付袁军二零零六年四月日引言群和图一直都是人们研究得很多的数学对象，但是把二者结合起来，应用图来研究群以及应用群来研究图则是较近的事

7、．Ｒ．Ｆｈｌｃｈｔ于１９３８年在［４］中证明了对于任意给定的抽象群，都存在一个图以它为自同构群，这个重要的工作揭开了这个领域的帷幕．而ｗ．Ｔ．，ｎｌｔｔｅ的著名文章［５］则可看作是群对图论的第一个精彩的应用．但是，对这个领域的广泛的研究则是在１９６０年代以后．四十年多来，在这方面出现了很多重要的工作．例如，对于图论在群论上的应用，值得提出的是应用图论方法研究置换群，特别是研究本原群的次轨道结构．关于这方面的内容可见【７１中的第１２章第四节，亦可见Ｐ．Ｍ．Ｎｅｕｍａｎｎ的精彩文章［８］另一方面，应用群论于图论的研究则有着更丰富的结果，如群的ｃａｙｌｅｙ图，群的双ｃａ

8、ｙｌｅｙ图