高等数学(下)自学

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1、《高等数学（下）》自学、复习参考资料Ⅰ——使用前请详细阅读后面所附的“使用指南”授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）强烈建议同志们以《综合练习》为纲，仔细掌握其中的所有习题内容！各章复习范围：第一部分《矢量代数与空间解析几何》————第八章第一至六节、第八节（即是除了第七节之外都要复习）第二部分《多元函数微积分》————第九章第一至五节（其中第四节只要求“全微分”）————第十章第一至三节、第五节（即是第四、六节暂不作要求）第三部分《级数论》————第十一章都要复习精品教育文档第八章空间解析几何矢量

2、代数一、空间点的直角坐标（理解、掌握）过空间一定点O，作三条互相垂直的数轴、、，它们都以O为原点，并且有相同的长度单位。这三条数轴分别叫做x轴(横轴)、、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，统称为坐标轴。zOyx注意：1、它们的正方向要符合右手规则，如P2图8一l所示；2、三条轴的交点o叫做坐标原点(或原点)；3、三个坐标轴中的任意两个坐标轴所确定的平面称为坐标面。x轴和y轴所确定的平面称为平面。类似可以定义平面、平面。4、三个互相垂直的坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做—个卦限，其序号编排如P3图8-

3、2所示。精品教育文档5、如P2图8-3所示，空间点M与有序数组（x，y，z）是一一对应的。我们把（x，y，z）叫做M点的坐标，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。6、显然，原点坐标为O（0，0，0）；x轴、y轴、z轴上的点的坐标分别为（x，0，0）、（0，y，0）、（0，0，z）；xoy、yoz和zox坐标平面上的点的坐标分别为（x，y，0）、（0，y，z）、（x，0，z）。7、在各卦限内的点的坐标的符号如下表所示：（P3）ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++--+y++--++--z++++----二、两

4、点间的距离两点M1（x1，y1，z1）、M2（x2，y2，z2）距离为：特殊地，点M到原点为O（0，0，0）的距离为：三、矢量的概念（理解、掌握）1、什么是矢量？既有大小，又有方向的量称为矢量或向量。2、怎样表示矢量？用有向线段表示。有向线段的长度表示矢量的大小，箭头所示方精品教育文档向表示矢量的方向。记作或、、等。如图所示：（或）BA3、什么叫矢量的模？矢量的长度（即矢量的大小）。矢量或的模记作

5、

6、或

7、

8、4、什么叫单位矢量？模等于1的矢量。与矢量同方向的单位矢量记作5、什么叫零矢量？模等于零的矢量

9、。记作。零矢量是起点和终点重合的矢量，其方向是任意的。6、两个矢量的相等：如果两个矢量和的模相等，并且方向相同，则称这两个矢量是相等的，记作=。7、什么叫逆矢量？与矢量大小相等、方向相反的矢量称为矢量的逆矢量（或负矢量），记作－l以上是最基本的概念和公式，大家一定要掌握。四、矢量的加法和数乘（几何方法）（掌握）精品教育文档1、和（1）平行四边形法则（2）三角形求和法则备注：A）、三角形求和法则便于求多个矢量的和；B）、即使这些矢量不在同一平面上，三角形求和公式仍适用。例如：P8图8-9（3）矢量加法

10、的运算法则：A）交换律：+=+；精品教育文档B）结合律：（+）+=+（+）。2、数积（1）定义数量λ与矢量乘积仍是一个矢量，记作λ。λ的模等于矢量的模的

11、λ

12、倍，即

13、λ

14、=

15、λ

16、

17、

18、当时，λ的方向与相同，当时，λ的方向与相反。特别地，当时，λ=0为零矢量，方向不定。（2）运算规律A）结合律：λ（μ）=（λμ）B）分配律：（λ+μ）=λ+μλ（+）=λ+λ五、单位向量、方向余弦及矢量的坐标表示式（掌握）l在空间直角坐标系中，设、、分别为坐标轴ox、oy、oz上以原点为始点，与坐标轴同向的单位矢量，表示

19、以原点O为始点，M（x，y，z）点为终点的矢量，则由三角形法，有简记为={x，y，z}x、y、z称为矢量在坐标轴上的分矢量。l设以原点O为始点、点M（x，y，z）为终点的非零向量与x轴、y轴、z轴正向的夹角分别为α、β、γ，则称α、β、γ为矢量精品教育文档的方向角，当规定，，时，则有显然，六、利用坐标表示式进行矢量的运算（熟练掌握）1、和与差若记，则2、数积若记则3、数量积（非常熟练地掌握）（1）定义两个矢量与的模与其夹角余弦的乘积叫做矢量与的数量积（或内积、点积），记作·，即精品教育文档其中表示两

20、个矢量与之间的夹角，且说明：A）由数量积的定义可以推出，数量积的结果是一个数量。当为锐角时，·为正；当为钝角时，·为负。B）由数量积的定义可以推出，1）；2）两个非零矢量与垂直的充分必要条件是3）对于基本单位矢量、、，显然有·=·=·=1·=·=·=0·=·=·=0（2）运算规律1）交换律·=·精品教育文档2）结合律λ（·）=（λ）·=·（λ）3）分配律（+）·=·+·（3）若设，则即两个矢量的数量积等于对应坐标的乘积之和。当·都是非零矢量时，有由此可见，两个矢量、垂