《高等数学自学》PPT课件

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1、一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集第一章函数数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:4.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,而数

2、值变化的量称为变量.5.绝对值:运算性质:绝对值不等式:因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域二、函数概念函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线(3)取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式

3、子来表示的函数,称为分段函数.基本初等函数1、幂函数2、指数函数3、对数函数4、三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数5、反三角函数三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:2．函数的单调性:xyoxyo3．函数的奇偶性:偶函数yxox-xy轴对称奇函数yxox-x4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.为内有定义的偶函数，已知y=f(x)的图像关于x=2对称，问f(x)是否为周期函数？解：则有故而四、复合函数初等函数1、复合函数定义:注意:1.不是

4、任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例1解例2解故思考题思考题解答不能．五、反函数DWDW直接函数与反函数的图形关于直线对称.注意：只有在给定区间上严格单调的函数，才有反函数。思考题思考题解答设则故有关结论：1、偶函数×偶函数＝偶函数＝奇函数×奇函数，奇函数×偶函数＝奇函数；2、奇偶函数复合后还是偶函数，偶偶复合为偶函数，奇奇复合为奇函数；3、奇函数的导数为偶

5、函数，偶函数的导数为奇函数；4、奇函数的积分为偶函数，偶函数的积分未必是奇函数；5、周期函数的导数是周期函数(未必反之）；6、无论f(x)↑还是↓，都有f(f(x))↑；7、若y=f(x)↑(或↓)，则其反函数也是↑(或↓).练习题二、证明xylg=在),0(+¥上的单调性.三、证明任一定义在区间)0(),(>-aaa上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.四、证明函数acxbaxy--=的反函数是其本身.练习题一、填空题:._________)0()()(___________)0)((__________)(sin_

6、_________]10[)(22的定义域为，的定义域为，的定义域为，为）的定义域（，则，的定义域为、若>-++>+aaxfaxfaaxfxfxfxf“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、极限概念的引入2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数Ex.Ex.三、数列的极限B如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：例1例2例3四、数列极限的性质1、有界性例如,有界无界

7、定理1收敛的数列必定有界.注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.2、唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.定理3收敛数列的任一子数列也收敛,且极限相同．一、自变量趋向无穷大时函数的极限注意：二、自变量趋向有限值时函数的极限例4例2例3例53.单侧极限:例如,左极限右极限左右极限存在但不相等,例6证三、函数极限的性质1.有界性2.唯一性3.不等式性质定理(保号性)推论4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定理例7证思考题思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.思考题例一、极限运算法则定理推论1推论2二

8、、求极限方法举例例1解解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2解例3(消去零因子法)例4解(无穷小因子分出法)答案：A例5解先变形再求极限.例7解左右极限存在且相等,意义：例8解一、填空题:练习题二、求下列各极限:一、极限存在准则1.夹逼准则注意:例1解由夹逼定理得2.单调有界准则单