《高等数学》PPT课件

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1、§3、泰勒公式多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便。从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，连除法都不需要，这是其它函数所不具备的优点。用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实用价值，而且更具有理论价值。一般的函数不好处理，先用较好处理的多项式近似替代，然后通过某种极限手续再过渡到一般的函数，这是研究函数的常用方法。泰勒公式正是研究用多项式近似代替函数的方法一、问题的提出忽略掉（x-x0)的高阶无穷小，则有（1）（2）显然，(2)的精确程度比(1)要高以上两个近似等式都是用一个多

2、项式近似代替函数f(x)，它们有共同的不足:1、精确度不高2、误差不能估计第一个近似是用常数（零次多项式）近似代替函数f(x)；第二个近似是用线性函数（一次多项式）近似代替f(x)；两种近似的多项式的次数都太低第一个近似的误差是一个无穷小量；第二个近似的误差是一个高阶无穷小量两个近似的误差都无法定量化问题:问题的具体提法为了使Pn(x)能更精确地表示f(x)，我们要求它们有尽可能多的共同之处。为此要求它们在x0点有相同的函数值、有相同的1阶,2阶，…，n阶导数值：（*）定义：n次多项式（*）称为函数f(x)在x=x0点的n阶泰勒多项

3、式定义：函数f(x)在x0=0点的n次泰勒多项式称为函数f(x)的n阶马克劳林多项式三、泰勒定理（泰勒公式）关于f(x)与其泰勒多项式关系，我们有的<证明略>p140~141称为拉格朗日形式的余项称为皮亚诺形式的余项若f(n+1)(x)有界：从而，泰勒公式又可以表示为【注】称为带有皮亚诺余项的n阶泰勒公式1、泰勒公式有两种形式2、当x0=0时，对应的两种形式的马克劳林公式为拉格朗日余项皮亚诺余项具体采用那种形式，要视题意或具体问题而定。四、求函数的泰勒公式在以下的讨论中，总假设要求的是带有皮亚诺余项的泰勒公式。由于一般泰勒公式可以转

4、化成马克劳林公式，所以我们重点讨论求函数的马克劳林公式的方法。1、直接法(1)求出f(x)的各阶导数f(k)(x)，求出f(k)(0)(k=0,1,2,…,n)【步骤】(2)写出f(x)的马克劳林多项式(3)按要求写出余项(4)完成公式解代入公式,得或由公式可知估计误差其误差解依次为0,1,0,-1循环出现或同理可得解特别地，当2、间接法解类似地有解解五、泰勒公式的应用解例9设f(x)在[0,1]上二次可导，证明证将f(x)在x=1处作一阶泰勒公式展开，有将x=0代入上式，得由例10证由已知例11【授课内容】Ch3,§3【习题】习题

5、3-3，【下次讲授】Ch3、§4、5（上合堂课）