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1、第八节一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值机动目录上页下页返回结束多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有机动目录上页下页返回结束说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故机动目录上页下页返回结束时,具有
2、极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当证明见第九节(P65).时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数机动目录上页下页返回结束例1求函数的极值。解求解方程组：得驻点因此，驻点因此，驻点解例3.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为机动目录上页下页返回结束二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只
3、有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据机动目录上页下页返回结束求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.解如图,2021/9/2117例5某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？解：设水箱的长为x,宽为y,则其高为此水箱的用料面积2021/9/2118时，A取得最小值，根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域D(x>0,y>0)内取得。又函数在D内只有唯一的驻点，因此可断定当就是说，当水箱的长、宽、高均为时，水箱所用的材
4、料最省。实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化机动目录上页下页返回结束方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有机动目录上页下页返回结束引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(La
5、grange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.机动目录上页下页返回结束推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件机动目录上页下页返回结束例6.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问机动目录上页下页返回结束得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为机动目录上页下页返回结束思考:1)当水箱封闭时
6、,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.例7抛物面被平面截得一椭圆，圆到原点的最长与最短距离．解：目标函数为条件为作函数求这个椭即由此得拉氏方程组解此方程组得代入目标函数得所以最长距离为所以最短距离为解可得即多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值四、小结
