高等数学a(二)期末复习题解答

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1、第八章：空间解析几何与向量代数1、求过点A（0，1，2）且与直线L：垂直相交的直线方程．解法1：求直线的对称式方程：所求直线方程为：　　　　　　　　　　　　　解法2：求直线的一般式方程：由上面的计算得过点A且垂直于直线L的平面方程为：过点A且过直线L的平面方程为：所求直线的方程为：　　　　　　　　　　　解法3：求直线的两点式方程：由上面的计算得点A在直线L上投影点的坐标为：所求的直线方程为：　　　　　　　　　2、求与平行，且满足的向量．解　因为向量与向量平行，所以可设，又因为，所以，得，所以：3、已知，求（1）；（2）以为邻边的平行四边形的面积；（3）．解（1）　　（2）　

2、　（3）　4、求直线与平面的夹角．解　　　　　　　　　　　　　　　　5、将直线化为对称式方程，并求其与的夹角．解　直线的对称式方程为第12页　　两直线的夹角余弦为：，得夹角为．6、求平行与平面，且与三坐标平面构成四面体体积为1的平面方程．解　设所求平面方程为，化为：，所以有，得所以所求的平面方程为：．7、求过直线，且切于球面的平面方程．解　设切点为，则切平面方程为：．　　又设过直线的平面束方程为：，所以有：，，所以得切点坐标，所以所求的切平面方程为：．8、求过点，且与平面平行，与直线垂直的直线方程．解　，所求的直线方程为：9、设有直线L：，平面P：，求：（1）过L且垂直于平

3、面P的平面方程；（2）L在P的上的投影直线方程．解（1）过L的平面束方程为：，与平面P垂直，所以有：所以所求平面的方程为：（2）所求的投影直线的方程为：10、抛物线绕轴旋转而成的旋转曲面方程为．11、求曲线在面上的投影柱面，投影曲线方程，及其投影区域．解　消得：，所以所求的：投影柱面为：；投影曲线为：；其投影区域为：第12页12、点求点，使与同向平行，与向量等长，并求．解　设点B的坐标为，则有：．因为与同向，则有：．又因为，所以有：．取，得B点坐标为，及．第九章：多元函数微分法及应用1、求旋转抛物面在点（2，1，9）点的切平面方程及法线方程．解　设，则，，，所以切平面的法向

4、量为：所以切平面方程为，法线方程为．2、设的二阶偏导数连续，且，求．解　；3、求曲面上平行于平面的切平面方程．解　设切点坐标为，则曲面在点处的切平面方程为，其与平面平行，所以有：，所以所求的切平面方程为：4、将周长为的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问矩形的边长各为多少时，所得圆柱体的体积为最大．解　设矩形的边长分别为、，且绕长为的边旋转，则有：，又设：，则有：，即当矩形的两边长分别为和且绕长为的边旋转时所得圆柱体的体积最大．5、设，且具有二阶连续偏导数，求．第12页解　；．6、设，证明．解　因为：，，所以：7、，求．解　因为，所以，两边求偏导数得：，，8、，求．解　因为，，

5、，所以9、，求．解　，10、设由方程所确定，求，．解　设，则，，所以：，11、求曲面上平行于平面的切平面方程．解　设切点为，则切平面的法向量为，其与平面平行，所以有：代入曲面方程得：，由此得切点坐标，所以所求的切平面方程为：，法线方程为：．第12页12、求曲线在点的切线方程与法平面方程．解　因为：，，，且：，所以所求的切线方程与法平面方程分别为：；．13、设，求（1）在点的梯度；（2）在点沿点指向的方向导数．解（1）　因为：，；所以：grad　（2）　因为：，，所以14、求函数的极大值与极小值．解　因为：，，所以有：和、、又因为：，，；所以当：（1）驻点为时，，；得且，所以

6、是极大值点，极大值为．（2）驻点为时，，；得且，所以是极小值点，极小值为．（3）驻点为时，，；得，所以不是极值点．（4）驻点为时，，；得，所以不是极值点．15、求函数在条件限制下的最大与最小值．解　设，则有：和又因为，，所以最大值为，最小值为．注：原题答案为：，第12页16、求原点到曲面的最短距离．解　设，则有：由（1）－（2）得：；由此得（舍去，因为若将其代入（4）得矛盾等式）、；将，代入（1）得：；由（3）得（舍去，因为将其代入（1）、（2）得，再将代入（4）矛盾）和．将上面两式代入（4），得：、，所以最小距离为：．第十章：重积分1、将积分化为极坐标下的二次积分，并计算

7、其值．解　2、将积分化为极坐标下的二次积分，并计算其值．解　3、计算二重积分，D由所围．解　4、计算二重积分，其中是由直线，，围成．解5、求锥面被柱面所截下部分曲面的面积．解6、求曲面被平面截下的有限部分的面积．解第12页7、交换积分顺序．解8、交换积分顺序．解9、求平面图形的形心坐标．解　　　　　；；10、设物体由曲面与平面围成，其在点处的密度是原点到该点距离的平方，求这物体的质量与重心坐标．解　，11、计算三重积分，其中是由曲面与平面围成．解　　　　　　　　　　　　　12、计算三重积分，其中是由曲面与平面围成．