高等数学ⅱ期末复习题解答2011-2

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1、《高等数学》课程下期末复习题一参考答案一、填空题：（请将正确答案填在横线上。每小题2分，共10分）1.方程的通解为.2.已知，则。3.设，则.4.交换二次积分的次序=.5.函数的麦克劳林公式中项的系数是.二、选择题：（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内.每小题2分，共20分）1.（A）（B）（C）（D）2．非齐次线性微分方程的特解形式(D).(A)(B)(C)；(D)3.下列曲面中，(D)是平行x轴的柱面．（A）（B）（C）（D）.4.在点处两个偏导数存在是在处可微的(A).（A）必要条件（B）充分条件（C）充分必要条件（D）以上都不

2、是5.设方程确定了函数，则在点处的全微分（D）.12（A）（B）（C）（D）6.在下列级数中，唯有（C）是收敛的.（A）（B）（C）（D）7.设D由x轴，围成，则（B）..（A）（B）（C）（D）8.设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是(A).(A)在处的导数等于零（B）在处的导数大于零(C)在处的导数小于零(D)在处的导数不存在9.幂级数收敛域是(A).(A)[-3,3)(B)[-3,3](C)(－3,3)(D)(-3,3]10.(C)．（A）（B）（C）（D）三、计算题：（每小题7分,共56分）1.设，求dz.解：设(4分)(6分)12(7分

3、)2.求函数的极值.解解得驻点;(3分)(6分)故有极小值(7分)3.设，其中和具有二阶连续导数，求．解因为(2分)所以(4分)(6分)于是．(7分)4.计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.解：积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较容易，所以(4分)(7分)5.计算二重积分,其中D:y³x及1£x2+y2£2所围成的平面区域.解：方法一：使用极坐标变换12(4分)=0(7分)方法二：添加辅助线：，则D就可以看做为即与x又与y轴对称，故6.判断级数是绝对收敛还是条件收敛还是发散？解：(2分)故级数发散，原级数不绝对收敛。(4分)而是交

4、错级数，且(6分)故条件收敛。(7分)7.求级数的和函数.解:级数收敛,所以收敛半径为1.当时都得到级数，发散，当时都得到级数，发散.所以收敛区域为.(3分)令.(5分)所以（－1,1）(7分)8．求一阶常微分方程的特解.12(2分)(5分)(7分)四、应用题：（本题8分）某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为和，销售量分别为和，需求函数分别为，；总成本函数为。试问：厂家如何确定两个市场的售价，使其所获总利润最大？解（1）由已知条件先考虑无条件极值：收益函数利润函数(2分)于是由：得唯一驻点(4分)根据问题的实际意义，存在最大值，故是的最大值点，即：两个

5、市场的售价分别为和时，可获最大利润，最大利润.(5分)（2）由已知条件考虑条件极值，即在的条件下求极值：代人上式得：于是令得唯一驻点12根据问题的实际意义，存在最大值，故是的最大值点，即：两个市场的售价统一为时，可获最大利润，最大利润(8分)五、证明题：（本题6分）：设，求证：证明：(4分)(6分)《高等数学》课程下期末复习题二参考答案一、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）:1、若，则的定义域.2、设，则.3、1。4、设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分为解：因为，，12所以.5、若，且，则=2.6、二次积分.7、设连续，且,其中，则＝.8、设，则=.

6、解：9、若级数的部分和数列为，则.10．将函数展为的幂级数为.二、选择题（共5小题，每小题2分，共10分）:1、方程是（C）。(A)变量可分离方程(B)齐次方程(C)一阶线性方程(D)以上均不正确2、设u(x,y)在平面有界闭区域D上具有连续的二阶偏导数，且满足，则u(x,y)的（B）。(A)最大值点和最小值点必定在D的内部(B)最大值点和最小值点必定在D的边界上(C)最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上(D)最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上3、设f(x,y)在处偏导数存在，则f(x,y)在该点（D）。12(A)极限存在(B)连续(C)可微(D)以上结论

7、均不成立4、(D）。(A)(B)(C)(D)5、下列结论正确的是（C）。(A)若收敛，则必收敛(B)若收敛，则必发散(C)若收敛，则不一定收敛(D)若收敛，则必发散三、计算题（共8小题，每小题7分，共56分）1、设直线与抛物线所围成图形的面积为，它们与直线所围成的图形面积为.(1)求面积的值；（2）求所对应的平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积之和。解：(1)（2分）？？？故的面积和为.（4分）（2）所对应的平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积之和为（5分）12（7分）2．求.解：所给方程对应的齐次方程为特征方程为，特征根为（2分）所以对应齐次方程的通解