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1、《高等数学》课程期末复习题一参考答案一、填空题：（请将正确答案填在横线上。每小题2分，共10分）1.点到平面的距离.2.设，则.3.函数=在处方向导数的最大值等于.4.交换二次积分的次序=.5.函数的麦克劳林公式中项的系数是.二、选择题：（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内.每小题2分，共20分）1.的任意点集的全部边界点所组成的集合(B).（A）是开集；（B）是闭集；（C）既是开集又是闭集；（D）两者都不是.2.在点处两个偏导数存在是在处可微的(A).（A）必要条件；（B）充分条件；（C）充分必要条件；（D）以上都不是.
2、3.非齐次线性微分方程的特解形式(D).(A)(B)；(C)；(D).4.设上半球,则以下等式错误的是(C).（A）；（B）；（C）；（D）.5.设方程确定了函数，则在点处的全微分（D）.14（A）（B）（C）（D）6.在下列级数中，唯有（C）是收敛的.（A）（B）（C）（D）7.设D由x轴，围成，则（（B））.（A）（B）（C）（D）8.设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是(A).(A)在处的导数等于零（B）在处的导数大于零(C)在处的导数小于零(D)在处的导数不存在9.幂级数收敛域是(A).(A)[-3,3)(B)[-3,3](C
3、)(－3,3)(D)(-3,3]10.微分方程的解是(A).（A）（B）（C）（D）三、计算题：（每小题7分,共56分）1.设，求dz.解：设2.求函数的极值.14解解得驻点;;故有极小值3.计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.解：积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较容易，所以4.计算，其中为抛物线从点到点的一段弧。解积分与路径无关。选取路径故5.设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.解:所求面积为6.判断级数是绝对收敛还是条件收敛还是发散？解：14当时，p级数发散，原级数不
4、绝对收敛。而是交错级数，且故条件收敛。7.设将展开为余弦级数，求.解:根据余弦级数的定义，其系数计算公式为，则===18．求一阶常微分方程的特解.四、应用题：（本题8分）某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为和，销售量分别为和，需求函数分别为，；总成本函数为。试问：厂家如何确定两个市场的售价，使其所获总利润最大？解由已知条件收益函数利润函数14于是：由的唯一驻点根据问题的实际意义，存在最大值，故是的最大值点，即：两个市场的售价分别为和时，可获最大利润，最大利润.五、证明题：（本题6分）：设，求证：证明：《高等数学》课程期末复习题二参考答案一、
5、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）1、已知，则。2、_____1___。3、设f(x)为连续函数，则=。4、=。5、微分方程的通解为。6、设,则该函数在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到Q(2,-1)的方向导数为14。()7、一平面垂直于已知平面2x–2y+4z–5=0,且在x轴和y轴上的截距为a=–2,b=2/3,则此平面方程为.8、设，则=.9、若级数的部分和数列为，则.10、若级数条件收敛，则级数的敛散性为发散。二、选择题（共5小题，每小题2分，共10分）1、若，且f(0)=1，则f(x)=（C）。（A）(B)(C)(D)2、设u(x,y
6、)在平面有界闭区域D上具有连续的二阶偏导数，且满足，则u(x,y)的（B）。(A)最大值点和最小值点必定在D的内部(B)最大值点和最小值点必定在D的边界上(C)最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上(D)最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上3、设f(x,y)在处偏导数存在，则f(x,y)在该点（D）。(A)极限存在(B)连续(C)可微(D)以上结论均不成立4、设f(x,y)是有界闭区域D：上的连续函数，则当时，14的极限为（B）。(A)不存在(B)f(0,0)(C)f(1,1)(D)f(1,0)5、下列结论正确的是（C）。(A)若收敛，则必收敛(B
7、)若收敛，则必发散(C)若收敛，则不一定收敛(D)若收敛，则必发散三、计算题（共8小题，每小题7分，共56分）1、计算.解：2、求方程的通解；解：3、设，求。解：4、设y=f(x)是由方程确定的隐函数，求。解：14解得5、计算。解：6、设f(x,y)在闭区域上连续，且求f(x,y).解：设，已知等式在两端积分得解方程得7、计算，其中是由曲面z=xy，y=x,x=1,z=0所围成的区域。解：8、求幂级数的收敛域，并求其和函数。解：当时，发散14故收敛域为。四、应用题（8分）某公司通过电台及报刊两种方式做某种产品的推销广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与
8、电台广告费用x1（万元）及报刊广告费x2（万元）之间的关系有如下经验公式：R=1
