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1、§3.5大数定律与中心极限定理一、依概率收敛定义3.12则称随机变量序列是一列随机变量,设恒有如果对任何依概率收敛到X记作或恒有对任何恒有对任何二、大数定律设在n重贝努利试验中，事件A发生的次数为X则事件A在n次试验中发生的频率为X与都是随机变量.随着试验次数的增加，事件A发生的频率逐渐稳定在即即即定理3.8（伯努利大数定律）常数附近.的随机变量序列,说明:概率意义下,故大量随机变量的平均值几乎不再是同分布辛钦大数定律：设为独立,存在有则对任何即在定理的条件下,当n充分大时,的平均值随机变量在其数学期望.随机变
2、量.独立、分布的会充分接近同三、中心极限定理“大量独立、随机变量以正态分布为极限的和或平均值分布.”同分布的定理3.11设随机变量序列有(独立同分布则对一切,中心极限定理)(2)服从同样的分布;(3)期望和方差都存在：(1)相互独立;(4)方差满足：由极限当n充分大时,有当随机变量序列满足定理的条件时,无论只要它们(2)服从同样的分布;(3)期望和方差都存在;则当n充分大时,的有关概率.服从什么分布,都可以利用来计算随机变量(1)相互独立;(4)方差不等于0.标准正态分布例标准差为10克,一箱内装有200袋大于
3、20500克的概率.用机器包装味精,每袋味精的净重期望值为100克,求一箱味精净重解设箱内第袋味精的净重为独立,同分布;味精,为随机变量,克.解设箱内第袋味精的净重为克独立,同分布;用机床加工大小相同的零件,每个零件的重量求制造1200个零件,例标准重1公斤,由于随机误差,在均匀分布,总重量大于1202解设第个零件的重量为独立,同分布;上公斤的概率.公斤.解设第个零件的重量为公斤独立,同分布;近似由近似当n充分大时,近似近似在定理的条件下，综合形成的,而其中每个随机因素则这个随机变量就服从当一个随机变量相互独立
4、的随机因素是由大量的、都服从同样的分布,或近似服从正态分布.用机床加工大小相同的零件,每个零件的重量求例标准重1公斤,由于随机误差,在均匀分布,上最多制造多少个零件,可使零件重量的绝对值小于2公斤的概率不小于0.9?误差总和解设制造n个零件,独立,同分布;n个零件的误差总和为为第个零件的重量误差.解设制造n个零件,独立,同分布;为第个零件的重量误差.解为第个零件的重量误差.取最多制造1763个零件.例测量某物体的长度时,由于存在测量误差,测量,每次测得的长度值只能是近似值,现进行多次再取这些测量值的平均值作为实
5、际长度假定n个测量值具有共同的期望μ和方差精确到随机变量,(μ为即真实长度)若要以95%的把握确信其估计值必须测量多少次?解设测量n次,独立,同分布;用实际长度为μμ的估计值.是独立同分布的以内,为第次测量的数据.估计真实长度μ.若要以95%的把握确信其估计值精确到必须测量多少次?解独立,同分布;实际长度为μ以内,为第次测量的数据.设测量n次,解实际长度为μ为第次测量的数据.取n=97,测量97次,就有设测量n次,每一次试验,设在一次试验中,只有两个对立的结果:或重复进行n次独立试验,A发生的概率都是A不发生的
6、概率用X表示n重贝努里试验中事件A(成功)出现的可能取值:次数,都是令第一次A不发生第一次A发生第二次A不发生第二次A发生第i次A不发生第i次A发生n个参数均为p的0-1分布的和是二项分布.(棣莫佛–拉普拉斯定理)设随机变量证定理3.12则对一切有设随机变量相互独立,都服从0-1分布,证毕(棣莫佛–拉普拉斯定理)设随机变量定理3.12则对一切有此时，当充分大时,(棣莫佛–拉普拉斯定理)设随机变量定理3.12则对一切有此时，当充分大时,近似近似二项分布正态分布例某地一家保险公司有2万人参加了人寿保险,每人在年初付
7、保险费8元,若投保人在该年死亡,则保险公司赔付其家属2000元,该地区人口的为万分之五,求死亡率该保险公司一年的利润不少于12万元的概率例某地一保险公司有2万人参加寿险,每人年初付保费8元,若投保人在该年死亡,则保险公司赔付2000元,该地区人口的死亡率为万分之五,求解设2万投保人中死亡人数为利润保险公司一年的利润不少于12万元的概率例第一章P2表1-1中，记录了皮尔孙掷硬币出正面6019次,12000次，若我们现在重复他的求正面出现的频率与其概率的之差的绝对值不大于当年皮尔孙试验所发生的偏差试验,的概率.解皮
8、尔孙掷硬币12000次，出正面6019次,与出正面的概率出正面的频率为的偏差为出正面的频率解皮尔孙掷硬币12000次，面的概率现再掷12000次硬币,的偏差为设正面出现了次,出正面的频率与出正在第二章中，究竟以哪个分布二项分布泊松分布二项分布正态分布一般说来，计算结果不满足上述就只能用正态分布来近似.泊松分布也是二项分布的极限分布,作二项分布的极限分布更合适？当n充分大，且很小，能满足
