大数定律与中心极限定理

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1、第五章大数定律与中心极限定理大数定律：概率论中，阐明、揭示大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定律。如：前面学习过：(1)在相同条件下，进行大量重复独立试验时，随机事件发生的频率具有稳定性，即。(2)实践中得出，大量测量值的平均值也是具有稳定性，即。大数定律从理论上给出了这类问题的论证。一、切贝雪夫不等式1.切贝雪夫不等式：设随机变量有数学期望及方差，则任意给出，有或。例1.某批产品次品率0.05，试估计10000件产品中，次品数介于400~600件之间的概率。解：，，，因此。二、大数定律1.依概率收敛：若存在常数,使得对于任意正数，有则称随机变量序列依概率收

2、敛于.2.切比雪夫大数定律：设是相互独立的随机变量序列，各有数学期望及方差，并且对于所有都有，其中常数与无关，则对于，有3.贝努里大数定律：设为重贝努里试验中事件A发生的次数，为事件A发生的概率。则对任意给定的，有。贝努里大数定律说明：当无限增大时，事件A发生的频率与其概率之间偏差无限减少，所以在实际应用中，当试验次数很大时，便可用事件A发生的频率近似代替事件的概率。1.辛钦大数定律：设随机变量相互独立，服从同一分布，且，则对任意给定的有。(1)辛钦大数定律说明，无限增大时，个独立随机变量的平均值与其数学期望的偏差无限减小，即。(2)是实际应用中，为了减少误差

3、而“多次测量取平均值”的理论依据。(3)贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。(4)二、中心极限定理在概率论中，研究在什么条件下，大量随机变量的和的极限的分布是正态分布的一系列定理。1．中心极限定理：设是独立的且具有相同分布（i.i.d.）的随机变量，且则有，其中。（也即当很大时，随机变量近似服从）例1一仪器同时收到50个噪声信号，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间上服从均匀分布，记，求。2．若，则可表示成个相互独立的分布的和，即当很大时，二项分布近似服从正态分布，此定理称为德莫佛－拉普拉斯定理(DeMoivre--Laplace)。应用此定理可解决二项

4、分布中很大时的计算问题。例2某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗户占20%，在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量，（1）写出的概率分布；（2）求被盗的索赔户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值。小结：1引进了大数定律的概念，要了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛钦大数定律，了解契比雪夫大数定律。2阐述了中心极限定理的含义及其客观背景，要掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普拉斯定理，会利用中心极限定理解决一般实际应用问题。