大数定律与中心极限定理.ppt

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1、概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.§3.5大数定律与中心极限定理研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:与大数定律中心极限定理下面我们先介绍大数定律测量一个工件时，测量具有误差，需要以各次的平均值来作为测量的结果。只要测量的次数足够多，总可以达到要求的精度.这里反映了什么样的客观统计规律呢？大数定律的客观背景大量的随机现象中平均结果的稳定性大量抛掷硬币正面出

2、现频率字母使用频率生产过程中的废品率……香奈儿夫人(GabrielleChanel)：时尚会成为过去，但风格屹立不摇以统计方法来分析写作风格(literarystyle)，称为stylometry.ExampleinPractice1985年11月14日，GaryTaylor在牛津大学的图书馆找到一首可能是莎士比亚的诗。就称泰勒诗，有429字。英美学者为了这首诗争论不休，大打笔战不少专家认为泰勒诗，用字遣词与韵味风格，都异于莎士比亚其它作品。十七世纪以来，莎士比亚作品最重要的一次发现？1986年1月24日Science杂志,刊登莎士比亚的新诗—向统计学礼赞(Shak

3、eapeare'snewpoem:anodetostatistics)，介绍Efron及Thisted，以统计的方法鉴定泰勒诗,是否为莎士比亚所作。统计学者也介入这场纷争1976年:Estimatingthenumberofunseenspecies：HowmanywordsdidShakespeareknow？研究动机：好玩有趣或有用一向是科学研究的动机Efron：Itneverpossiblyoccurredtomethatwe'dhaveachancetouseit.莎士比亚总作品中共有884,647个字,其中有31,534个相异字。有14,376个相异字只出

4、现1次,有4,343个相异字只出现2次。…在总作品中，罕用字的使用非常普遍。Efron与Thisted估计莎士比亚尚认识11,460±150个字。1987：DidShakespearewriteanewly-discoveredpoem?若泰勒诗为莎士比亚所作，估计有6.97±2.64个新字，实际有9个。估计曾出现1次的字有4.21±2.05个，实际为7。估计曾出现2次的字有3.33±1.83个，实际为5。一直到曾出现100次的字，估计与实际值，吻合程度皆相当惊人。用统计术语来说：不能拒绝“此诗为莎士比亚所做”之假设。Efron及Thisted也对另3位与莎士比亚同

5、时代的诗人，各取1首诗，及另取4首莎士比亚的诗，与这首泰勒诗做比较。经过3种统计检定，发现对前3首，罕用字出现次数，与莎士比亚所的频率皆不吻合。虽然挑选的4首莎士比亚的诗偶而有不吻合处，总的来说是可接受的。在大量随机现象中,不仅看到了随机事件的频率具有稳定性,而且还看到大量测量值的平均结果也具有稳定性。这种稳定性就是本章所要讨论的大数定律的客观背景。即无论个别随机现象的结果如何,或者它们在进行过程中的个别特征如何,大量随机现象的平均结果实际上与每一个别随机现象的特征无关,并且几乎不再是随机的了。频率稳定性，肯定了“概率”的客观存在性。公理化体系：用“概率空间”来严格

6、刻画“概率”。这一理论工具和模型得到的结果与很多实际情况非常吻合这个理论模型到底能不能很好地解释“频率稳定性”这一客观规律呢？能，更进一步说明我们的理论是符合实际的不能，或者利用我们的理论推出的结论有与“频率稳定性”这一客观规律矛盾的地方，这说明我们的理论有问题，因为“实践是检验真理的唯一标准”。我们着手解决这一问题众所周知，我们是用伯努利实验来描述大量的独立重复实验的。设伯努利实验中事件发生的概率为，并用记次实验中出现的次数，则“频率稳定性”就是指当实验次数增大时，频率接近于概率。表示在这n次实验中事件A出现的频率，于是对“接近于”，一般有下面的两种提法：（2）下

7、式成立：（1）对任意的，成立随机变量序列的三种收敛性三种收敛性：i)依概率收敛：用于大数定律；ii)以概率1收敛：用于大数定律；iii)按分布收敛：用于中心极限定理.依概率收敛定义3.12(依概率收敛)大数定律讨论的就是依概率收敛.若对任意的>0，有则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X,记为依概率收敛的性质Theorem若则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除依概率收敛到a与b的加、减、乘、除.定理:依概率收敛序列的性质证明[证毕]若几乎处处收敛于即则称以概率1收敛于记为以概率1收敛按分布收敛、弱收敛对分布函数列{Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.Defin