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1、概率论与数理统计第5章大数定律与中心极限定理第5章大数定律与中心极限定理5.1切比雪夫不等式与大数定律学习本节，主要是要从理论上严格以前经常提到的关于“频率和概率的关系”的几种说法，从而明确“频率和概率的关系”到底是何种关系。以前，我们常这样说：1．频率是概率的反映，随着试验次数的增大，频率将会逐渐稳定于概率；2．当试验次数n很大时，频率与概率非常“接近”、“靠近“；3．概率是频率的稳定值，等等。同学们早就有疑问：“逐渐稳定”、非常“接近、靠近”、“稳定值”，这些究竟是什么意思？是不是数学分析中极限的那种“接近”？本节正是要讨论和解决
2、这类问题的。定理5.1：（切比雪夫（Chebyshev）不等式）设随机变量的数学期望和方差都存在，则对于任意的正数，有下列不等式成立：；或.分析：1.首先切比雪夫不等式从概率的角度,描述了随机变量在其均值周围取值的分散程度.并用数学式子表示出来.2.切比雪夫不等式,给出了在未知随机变量的分布的情况下,求事件“
3、X-E(X)
4、<”的概率的一种估计方法.例如:取,则证明:(仅就连续随机变量的情形)设连续随机变量的概率密度为,由于,,知,那么91概率论与数理统计第5章大数定律与中心极限定理所以有:又由于“”与“”是对立事件，故有.(事实上切
5、比雪夫不等式,是为概率论中的一个重要的定律---大数定律的证明作准备.)例5.1：利用切比雪夫不等式确定当掷一枚均匀硬币时，需掷多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小90%。解：设x表示“在掷次试验中，出现正面的次数”，则出现正面的频率为。=0.5，=0.5(10.5)=0.25由切比雪夫不等式从而³250。定理5.2（切比雪夫（Chebyshev）大数定律）设独立随机变量序列的数学期望与方差都存在,并且方差是一致有上界的,即存在常数,使得则对于有.证前分析:若记是序列的算术平均值；91概率论与数理统计第5章大
6、数定律与中心极限定理而,因此定理2的结论可改写成:.这说明:当充分大时,算术平均值将紧密地聚集在其期望的附近.证明：因为相互独立，由方差的性质知：即；另由切比雪夫不等式知：而为常数那么但是概率只能小于等于1因此只有.91概率论与数理统计第5章大数定律与中心极限定理（切比雪夫大数定律，证明了算术平均值的稳定性。）比如：我们要测量某个物理量。在相同的条件下，重复测量次，得到的测量结果可能是不完全相同的，这些结果可以看作个独立的随机变量（它们服从同一分布，并且具有数学期望）的试验数值。于是，按大数定理可知：当充分大时，我们取次测量结果的算术
7、平均值作为的近似值（）所发生的误差是很小的。切比雪夫大数定律的一个重要推论就是著名的伯努利大数定律。定理5.3：（伯努利大数定律）在重独立试验序列中，设事件发生的概率。则对于，当试验次数充分大，即时有；其中是随机事件的频率。伯努利大数定律的结论表明：当试验次数充分大时，事件发生的频率与其发生概率非常接近，但这种接近是概率意义上的接近。严格地说：当试验次数充分大时，事件发生的频率以概率收敛于其概率.证明：引入随机变量0，若随机事件A不发生1，若随机事件A发生显然次试验中随机事件发生的次数.由于只依赖于第次试验，而且各次试验是独立的，于是
8、相互独立。又由于如此引入的随机变量服从（0-1）分布，则，由切比雪夫大数定理知：91概率论与数理统计第5章大数定律与中心极限定理.而故有成立。伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例，它们的证明都是以切比雪夫不等式为基础，都要求随机变量具有方差。事实上，可以证明“方差存在”这个条件并非必要的。下面我们不加证明地给出辛钦大数定律：定理5.4.（辛钦大数定律）设独立随机变量序列的数学期望都存在且相等即，。则对于有成立。伯努利大数定律，以严格的数学形式表达了频率的稳定性，就是说“当试验次数很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小”。
9、因此，它在实际应用中为“当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率代替事件发生的概率。”提供了理论依据；也为通过试验来确定事件的概率提供了方法，即“当试验次数较大时，可以用事件发生的频率作为相应概率的估计”。同时，由于“事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小”，伯努利大数定律还隐含着另外一个重要的事实：如果事件A的概率很小，那么事件A的频率也一定很小。例如，我们不妨设，则由伯努利定理知频率也非常接近0.001,即在1000次试验中只能期望事件A发生1次,发生的机会是很小很小的，在这1000次试验的某一次（个别）试验中，事件A的发生几
10、乎是不可能的。为此，我们不妨这样总结这个事实：“概率很小的事件在个别试验中，实际上是不可能发生的。”通常称这一原理为：小概率事件的实际不可能性原理。小概率事件的实际不可能性原理是统计推断中的基础依据，今后我们会经常引用它
