用探索法解数学题

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1、用探索法解数学题解题需要探索。有一些问题往往没有固定的套路可依循，起决定作用的不是解题者知道多少模式，只是它能否启动他的头脑，运用智力，大胆想象，发挥创造性。从广义上讲，一切解题方法都是探索法。美国小说家马克·吐温的代表作《汤姆·索耶历险记》的主人公汤姆·索耶在山洞中迷了路，他不知道走哪条道，唯一的办法就是探索：先试试这一条，再试一试那一条。汤姆·索耶的方法也就是数学家，教育家玻利亚所倡导的方法：“一再地去试，多次变化方法，使我们不致错过那少许的宝贵的可能性”。探索可以从粗略的估计开始。例1已知，证明（1）解：这个不等式当然不难证明，如将左边均用2代进去，便得可惜的是（1）式右边的并不（恰恰相

2、反，），证明无法进行下去。我们应当回到出发点，并总结一下失败的原因。（1）的右边有变元，所以不能简单地把左边换成常数4。那么，只将一个变元换成2呢？例如保留b，将a换成2，得到如果，那么（1）式右边，结合上式便导出结论。可是a也有可能大于b啊！虽然（1）仍未得到完全的证明，但已获得部分的结果，即在时，（1）成立。稍作点变更，保留，而将b换成2，那么于是在时，即（1）式成立。将以上两方面结合起来，便得到完整的证明。例2某市有n所中学，第i所中学派出名学生（）来到体育馆观看比赛，总人数，看台上每一横排有199个座位，同一学校的学生必须坐在同一横排，问至少安排多少个横非才能保证学生全部坐下？解：先作

3、最粗略的结计：1990个学生，每排坐199个，至少要个横排才能坐下。5但10个横排未必能保证同一学校的学生都坐在同一横排，如果让学生按照学校顺次入坐，第一排满了再坐第二排，第二排满了再坐第三排，……，那么全部学生都在10个横排中就座，但有些学校的学生可能分在一排的排尾及下一排的排头。出现上述情况时，可以把不合要求的学校调整到“备用”的横排。至多有9个学校不合要求（他们有一部分人坐在第一、二、……、九排的排尾），而5个学校的人数≤5×39=195<199（2）所以只要需要2排“备用席”，就可以安排这些学校（每排备用席，可以安排5个学校）。因此，12个横排足以保证全部学生按要求坐下。12个横排能不

4、能减少成11个横排呢？（在一般情况下，10个横排是不够的，这一点虽然没有证明，仅凭感觉和常识就可以相信。）不能！为此，我们注意在各学校人数均不太少时，每排可安排5个学校，不能安排6个学校。（各校人数时，即是这样）这时，如果学校个数≥56，那个12个横排就不够了。由于总人数1990=56×35+30=30×36+26×35∴可取n=56，这n所学校中，有30所派出36人，26所派出35人。每排只能安排5所学校。199=5×35+24所以必须12个横排才能保证56所学校派出的学生全部坐下。所谓粗略的估计，实际上是抓住了主要部分，把握了全局。在需要满足较多要求时，往往暂时忽略一些要求（尤其是次要的要

5、求），先得出“粗略的”结果，然后再加以修正。例3将一个圆盘分为n个扇形，每个扇形可涂红、黄、蓝三种颜色中的任一种，但每个相邻的扇形的颜色必须不同，问有多少种涂法？解：设有种涂法，第一个扇形有3种涂法，涂好第一个扇形后，第二个扇形有两种涂法，这样继续涂下去，如果不要求第n个扇形与第一个颜色不同，每个扇形均有2种涂法，总的涂法为要使第n个扇形的颜色与第一个不同，我们必须从中减去那些不合要求的涂法（的个数），即第n个扇形与第一个扇形同色的那些涂法。如果将第n个扇形与第一个合而为一，那么上述例子的涂法的个数就是，所以（3）由（3）式易得5此外，显然有探索应当从熟悉的地方开始。探索往往从简单的情形开始。

6、探索，并非完全没有目标，有时问题已有明确的结论，即使没有结论，往往可以猜出答案应当是什么，“先猜，后证——这是大多数的发现之道”。猜出结论，便可以有的放矢常常有人提出这样的要求：“请讲一讲思路”其实：思路也者，可以意会，难以言传。思路是说不清楚的。这一步是如何想出来的？为什么要这样做呢？教师可以说得头头是道，娓娓动听，但真实的解题过程未必如此。他可能犯了许多错误，走了不少弯路，花了大量时间，仍然一无所获。突然灵感出现：“我找到了”。教师（或书本上）展示的往往是最后的成品，而不是试制的过程。试制的过程因人因题而异，“你不能两次走进同一条河”。例4如图有个格点，求从点A（1，1）到点B（m,n）的

7、一个路径，使得它所经过的每一个格点的两个坐标的乘积之和为最大，并求出最大值，（这里所谓“路径”指的是向上，向右前进时走过的折线，不允许逆着x,y轴的正向前进）解：由对称性，不妨假设，并且整个路径在直线的下方（在上方的部分可以通过至于的对称而变到下方，不影响坐标的乘积）根据正常的感觉，所求的路径不外乎这几种可能：（Ⅰ）从A一直向右，再一直上升到B（Ⅱ）从A向右到C（n,1）再向上到D（n,n），最后