用抽签法解概率题

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1、用抽签法解概率题张蕴禄例1随机地将15名新生平均分配到三个班中去，这15名新生有3名优等生，试求（1）每一个班分到一名优等生的概率.（2）这三名优等生分到同一个班的概率.例28个篮球队中有两个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少？例1、例2类型的题目在教材和各种教辅资料中屡见不鲜，也是高中数学概率的一类重要题型,其解法也大都采用下面的解法.解：（例1）（1）每一个班分到一名优等生的概率（2）这三名优等生分到同一班的概率解一：（例2）把分组视为有序分组，则.解二：（例2）把分组视为无序

2、分组，则.以上解法涉及到了排列、组合的分组问题.分组问题一直是排列、组合的难点问题，有许多学生对有序分与无序分往往模糊不清.特别是对那些学习困难的学生更是难以理解.再加上即便是式子列对，式子的运算（例1）也是比较麻烦的.有一些学生会出现式子正确而结果错误的情况.为此，本文提供一种解决此类问题的简单易行的方法——“抽签法”.事实上，现实生活中的分组问题，诸如体育比赛中的分组问题，福利彩票中的抽奖问题,都是通过抽签的方式完成的.采用抽签法目的是使每个个体被抽到的概率相等.既然现实生活中的分组问题是通过抽签来完成的，那么我们完全可以从抽签的角

3、度来分析和解决此类问题.分析：例1中，15名新生需制作15个签，其中一班、二班、三班各5个（比如一班1～5，二班6～10，三班11～15），这15名新生抽取15个签，共有=15！种不同的抽取方法.（1）每一个班各有一名优等生可采用如下的抽签方法：第一名优等生抽取，有15种抽取方法；第二名优等生只能从10个签中抽取，有10种（比如第一个抽到13，第二个只能从1～10中抽取）；第三名优等生只能从5个签中抽取，有5种；剩余的12个人抽取12个签有种.这样每一个班各有一名优等生的概率用同样的方法可求出这三名优等生分到同一个班的概率4解一(例1)：

4、15人抽签有=15！种；（1）第一名优等生抽取，有15种；第二名抽取，有10种；第三名抽取有5种；剩余12名抽取有12！种，于是每一个班各有一名优等生的概率（2）第一名优等生抽取，有15种；第二名抽取，有4种；第三名抽取，有3种；剩余12名抽取有12！种，于是三名优等生分到同一个班的概率若仅考虑，这三名优等生的抽签方式可使运算更为简便.解二(例1)：三名优等生从15个签中任抽3个，有种（1）第一名优等生抽取，有15种；第二名抽取，有10种；第三名抽取有5种.于是每一个班各有一名优等生的概率（2）第一名优等生抽取，有15种；第二名抽取，有4

5、种；第三名抽取，有3种.于是三名优等生分到同一个班的概率若用此法解例2，可得到两个强队分在一组内的概率或.此种解法避开了分组问题的有序无序问题，一是运算简便，二是便于操作.经实验，学习困难生完全可以掌握.不失为一个妙法.以下再举一例。例316个国家足球队中有中、日、韩3个亚洲求队，抽签分成甲、乙、丙、丁4个小组（每组4个队），求（1）每个组中至多有1个亚洲球队的概率？（2）3个亚洲球队被分在同一组内的概率？（3）中、韩被分在同一组，日本被分在另一组内的概率？（4）其中有两个亚洲球队被分在一组，第三支亚洲球队被分在另一组的概率？解：三个亚洲

6、球队从16个签中任抽3个，有种（1）第一个亚洲球队抽签，有16种；第二个亚洲球队抽签，有12种；第三个亚洲球队抽签，有8种；于是，每个组中至多有1个亚洲球队的概率为4（2）第一个亚洲球队抽签，有16种；第二个亚洲球队抽签，有3种；第三个亚洲球队抽签，有2种；于是，3个亚洲球队被分在同一组内的概率为（3）中国队抽签，有16种；韩国队抽签，有3种；日本队抽签，有12种；于是，中、韩被分在同一组，日本被分在另一组内的概率为（4）第一支亚洲球队抽签，有16种，第二支亚洲球队抽签时有两种选择，若从第一支亚洲球队所在的组中抽取，有3种，此时第三支亚洲

7、球队只能从该组以外的12个签中抽取，有12种；第二个亚洲球队若不与第一支亚洲球队在一组，则有12种，此时第三支亚洲球队只能从两组中剩余的6个签中抽取，有6种；于是，两个亚洲球队被分在一组，第三支亚洲球队被分在另一组的概率为当然第（4）小题也可用来解决，笔者认为，抽签法应尽量淡化排列、组合作用，否则学生容易出现概念不清的错误。运用抽签法不仅可以解决有关分组问题中的概率问题，还可以解决其他类型的概率问题，下举2例.例4．（2000年上海高考题）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别有号码1，2，3.现任意抽取3面，它们的

8、颜色与号码均不相同的概率是.红黄蓝111222333解：9面旗帜抽3面，种；颜色和号码均不同，可这样抽，抽第一面，有9种；第二面只能从第一面剩余的行和列中抽取，有4种；同理，第三面有1种.于是