常微分方程期终试卷(3)

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1、常微分方程期终试卷(3)一.解下列方程(10%*8=80%)1.2xylnydx+{+}dy=02.=6-x3.=24.x=+y5.tgydx-ctydy=06.{y-x(+)}dx-xdy=07．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系。8.已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。二．证明题(10%*2=20%)9.试证：在微分方程Mdx+N

2、dy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。10.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。试题答案：02412-281.解：=2xlny+2x,=2x,则==,故方程有积分因子==，原方程两边同乘以得dx+dy=0是恰当方程.d(lny)+ydy=0,两边积分得方程的解为lny+=C。2.解：1）y=0是方程的特解。2）当y0时，令z=得=z+x.这是线性方程，解得它的通解为z=代回原来的变量y得方程解为=；y=0.3.解：令x=u+3,y=

3、v2,可将原方程变为=，再令z=，得到z+=，即=，分离变量并两端积分得=+lnC即ln+2arctgz=+lnC，ln=2arctgz+lnC代回原变量得v=C所以，原方程的解为y+2=C.4.解：将方程改写为=+（*）令u=,得到x=x+u,则(*)变为x=,变量分离并两边积分得arcsinu=ln+lnC,故方程的解为arcsin=lnCx。5.解：变量分离ctgxdy=tgydx,两边积分得ln(siny)=ln+C或sinycosx=C(*)另外，由tgy=0或ctgx=0得y=k(k=0

4、、1…)，x=t+(t=0、1…)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。6.解：ydx-xdy-x(+)dx=0,两边同除以+得xdx=0,即d(arctg)d=0,故原方程的解为arctg=C。7．解：因为F=ma=m，又F==，即m=(v(0)=0)，即=(v(0)=0)，解得v=+(t).7．解：令f(x)=y，=，两边求导得=y，即=y，即=dx，两边求积得=2x+C，从而y=，故f(x)=.9.证明：如M、N都是n次齐次

5、函数，则因为x+y=nM，x+y=nN，故有====0.故命题成立。10.解：1）先找到一个特解y=。2）令y=+z，化为n=2的伯努利方程。证明：因为y=为方程的解，所以=P(x)+Q(x)+R(x)(1)令y=+z，则有+=P(x)+Q(x)+R(x)(2)(2)(1)得=P(x)+Q(x)z即=[2P(x)+Q(x)]z+P(x)此为n=2的伯努利方程。