常微分方程试卷库

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1、常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题(30%)1、方程有只含的积分因子的充要条件是()。有只含的积分因子的充要条件是______________。2、_____________称为黎卡提方程,它有积分因子______________。3、__________________称为伯努利方程,它有积分因子_________。4、若为阶齐线性方程的个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________。5、形如___________________的方程称为欧拉方程。6、若和都是的基解矩阵,则和具有的关系是_

2、____________________________。7、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为_________时,零解是稳定的,对应的奇点称为___________。二、计算题(60%)1、2、3、若试求方程组的解并求expAt4、5、求方程经过(0,0)的第三次近似解6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题(10%)1、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。常微分方程期终试卷(2) 一、填空题30%1、形如____________的方程,称为变量分离方程,这里.分别为x.y的连续函数。2、形如___________

3、__的方程,称为伯努利方程,这里的连续函数.n3、如果存在常数_____________对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。4、形如_____________-的方程,称为欧拉方程,这里1、设的某一解,则它的任一解_____________-。二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。3、求方程的隐式解。4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=,在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。2.设为方程x=Ax(A为nn常数矩阵)的标准基解矩阵(即(0)=E),证明:(t)=(t-t)其中t为某一值. 常微分方程期终

4、试卷(3)一.解下列方程(10%*8=80%)1.1.   2xylnydx+{+}dy=02.=6-x3.=24.x=+y5.5.   tgydx-ctydy=06.6.   {y-x(+)}dx-xdy=07.一质量为m质点作直线运动,从速度为零的时刻起,有一个和时间成正比(比例系数为)的力作用在它上面,此外质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比(比例系数为)。试求此质点的速度与时间的关系。8.已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。二.证明题(10%*2=20%)9.试证:在微分方程Mdx+Ndy=0中,如果M、N

5、试同齐次函数,且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。10.证明:如果已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等方法求得它的通解。常微分方程期终试卷(4)一、填空题1、()称为变量分离方程,它有积分因子()。2、当(        )时,方程称为恰当方程,或称全微分方程。3、函数称为在矩形域R上关于满足利普希兹条件,如果(      )。4、对毕卡逼近序列,。5、解线性方程的常用方法有(                       )。6、若为齐线性方程的个线性无关解,则这一齐线性方程的所有解可表为(               )。7、方

6、程组(                    )。8、若和都是的基解矩阵,则和具有关系:(      )。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部(    )时,零解是稳定的,对应的奇点称为(    )。10、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时,则当(      )时,零解是渐近稳定的,对应的奇点称为(     )。当(     )时,零解是不稳定的,对应的奇点称为(           )。11、若是的基解矩阵,则满足的解(         )。二、计算题求下列方程的通解。1、。2、。3、求方程通过的第三次近似解。求解下列

7、常系数线性方程。4、。5、。试求下列线性方程组的奇点,并通过变换将奇点变为原点,进一步判断奇点的类型及稳定性:6、。三、证明题。1、1、设为方程(A为常数矩阵)的标准基解矩阵(即,证明其中为某一值。 常微分方程期终考试试卷(5)一.填空题(30分)1.称为一阶线性方程,它有积分因子,其通解为_________。 2.函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件,如果_______。3.若为毕卡逼近序列的极限,则有______。4.方程定义在矩形域上,则经过点(0,0)的解的存在区间是_______。 5.函数组的伏朗斯基行列式为_______

8、。6.若为齐线性方程的一个基本解组,为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表为________。7.若是的基解矩阵,则向量函数=_______是的满足初始条件的解;向量函数=_____是的满足初

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