信号与系统（任勇）第十章-数字滤波

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1、《信号与系统》第十章：数字滤波第十章：数字滤波§10.1线性相位FIR滤波器结构、时谱特性lFIR滤波器的流图结构：¨FIR滤波器：冲激响应¨已知，输入，则有：（10-1）（10-2）¨横向滤波器结构x(n)z-1z-1z-1z-1h(0)h(1)h(2)h(3)h(N-1)y(n)图10-1横向滤波器结构¨因果系统。单位样值响应为有限序列，必然是BIBO稳定。在原点z=0处有N阶极点，系统有N个零点，因此也称为全零点滤波器，或称为滑动平均（Moving-Average,MA）结构。l线性相位系统的时谱对称性：在z平面单位圆上，，w是数字角频率，则有：（10-3）是周期函数，周期2p

2、，。¨定理：若，为偶/奇对称，则具有理想线性相位特性。¨情况一：偶对称，，可推得：13《信号与系统》第十章：数字滤波（10-4）于是：（10-5）的贡献是0或者p，可见系统为线性相位。讨论：（1）当N为奇数时，关于w=p偶对称。（2）当N为偶数时，关于w=p奇对称，且=0，可见不能作为高通滤波器。（3）群延迟为，W为模拟角频率，T为采样间隔，w为数字角频率。¨情况二：奇对称，，可推得：（10-6）（10-7）可见，系统为线性相位。讨论：（1）对于任意w，引入一个-p/2相移，此时，FIR滤波器是一个具有理想线性相移的正交移相器。（2）当N为奇数时，关于w=p奇对称，且=0，同时又由于

3、=0，不能作高通，也不能作低通，只能作带通。（3）当N为偶数时，关于w=p偶对称，且=0，可见不能作为低通。（4）群延迟为，W为模拟角频率，T13《信号与系统》第十章：数字滤波为采样间隔，w为数字角频率。lFIR滤波器的实现：¨情况一：偶对称，，N为偶数，延迟环节z-1为奇数。（10-8）直接型结构实现参见图10-49(a)。要求学生掌握由公式（10-8）画出直接型结构图，并理解减少运算量的道理。¨情况二：偶对称，，N为奇数，延迟环节z-1为偶数。（10-9）直接型结构实现参见图10-49(b)。¨情况三：奇对称，，N为偶数或奇数，滤波器实现结构与上述讨论相同，差别只在于一边的斜线上

4、乘（-1）。l零点分布特性：¨当偶对称时，，令，则，即：¨当奇对称时，有¨讨论：Ø若zi是H(z)的零点，则1/zi也是H(z)的零点。Ø若zi在单位圆上，1/zi也在单位圆上。Ø若zj、z*j为共轭极点对，则(zj)-1、(z*j)-1也为共轭极点对；四个极点构成一个四阶系统：a+bz-1+cz-2+bz-3+az-4。Ø若zp=a(实数)，则zp-1=a-1也为实数；zp与zp-1构成一个二阶系统。l线性相位FIR滤波器不是最小相位系统。13《信号与系统》第十章：数字滤波§10.2FIR滤波器的时窗加权设计方法l问题的提出：滤波问题，首先根据频率特性要求确定一个理想的频率响应，例

5、如理想低通滤波器，如图10-2所示。而理想滤波器不可实现，因此须根据实际需求确定数字滤波器的频域容差，如式（10-2）所示。1+d1d21-d1wωsp通带阻带2pωp0过渡带图10-2滤波器频域容差示意图（10-10）这些性能指标只是基本要求。其它要求还有稳定性、因果性、相频特性等约束。确定了容差范围后，滤波器设计问题就成为满足不等式约束的逼近问题。理想滤波器是周期为2p的周期函数，与理想冲击响应的关系为傅立叶级数对，或单位圆上的z变换关系。（10-11）是双边序列，非因果，因此必须截断，选取时限函数，使得（10-12）一般地，，其单位圆上的z变换为由：（10-13）有：13《信号

6、与系统》第十章：数字滤波（10-14）由于信号非带限，在频域有主瓣，有旁瓣，因此，时窗加权必然造成谱扩展和泄露。为了减少谱扩展，的选择一般应满足两条原则：第一，的主瓣应尽可能窄，第二，旁瓣电平应尽可能低。显然，这是两个矛盾的模糊性原则。为此，也产生了若干种最佳化原则，最佳逼近时涉及到的有关量有以下几种：能量：能量矩：振幅矩：l常用的时窗函数：¨矩形窗：=1，=1Û（10-15）理想情况：截断以后：等价于用有限项傅立叶级数逼近无限项傅立叶级数。矩形窗截断，具有最小均方误差特性，即使：（10-16）最小。主瓣宽度；主副瓣比，-13dB；过渡带0.9¨Bartlett窗（三角窗）：13《信

7、号与系统》第十章：数字滤波（10-17）频域：Û（10-18）¨Hanning窗：（10-19）Û（10-20）¨Hamming窗：（10-21）Û（10-22）¨Blackman窗：（10-23）Û（10-24）¨Kaiser窗：（10-25）13《信号与系统》第十章：数字滤波b是窗的形状参数，一般取4