信号与系统（任勇）第九章-线性系统的状态空间分析

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1、《信号与系统》第九章：线性系统的状态空间分析第九章：线性系统的状态空间分析§9.1问题的提出在绪论中已提及，《信号与系统》是信息与通信工程和电子科学技术学科最底层、最重要的一门专业基础课。《信号与系统》是两类课程体系的底层支撑，其一为信号与系统Þ数字信号处理Þ现代信号处理Þ时间序列分析。其二为信号与系统Þ线性系统分析Þ高等系统分析Þ复杂系统分析。也就是信号与系统是信号处理理论与技术和系统理论与方法的基石。信号和系统不可分。信号处理理论和系统理论同样存在着非空交集。只是因为分析解决问题的视角不同，才不断演化成各有千秋的两大课程体系。系统分析方法有两大类，一类是经典方法，即

2、输入输出描述方法。横贯在各章节中的微分方程描述以及差分方程属于输入输出描述。另一类是现代方法，即状态空间方法，两类方法各有所长，在融入先进的数学理论之后，两类方法都在发展中。状态（state）在质点和刚体分析力学中是一个古老的概念，但引入到信号与系统分析中是Kalman在上世纪60年代首开的先河。状态方程观测方程本课第2章已通过一例引出了状态方程和观测方程（9-1）并给出了方程的解（9-2）在一般情况下，第二章所给的例子中，电容、电感、电阻等参数可能是时变的，例如可时变电控。因此，状态方程和观测方程的一般形式为《信号与系统》第九章：线性系统的状态空间分析（9-3）方程（

3、1）和（3）一般称为Kalman模型，这也是约定俗成，早些年没这样定义。本章从解方程（3）入手，进而解方程（2）即仍然从一般到特殊展开讨论。注意，当我们由第二章一个具体的例子把问题外延为方程（3）时，我们已进入抽象的一般的线性系统的研究范畴。为此，需要给出一些概念的定义。l定义（状态）：能够完全表征系统时域动力学行为的最小的内部变量组或信息量组称为系统的状态，记为。，称为状态变量，H表示共轭转置。为深入理解这个定义，注释如下。1．物理直觉思考ü在由电感、电容、电阻组成的电路系统中，状态变量就是电感L、电容C上或者含的支路上的电压／电流。ü在由质量为，弹性系数为，阻尼系数

4、为等刚体组成的机械平移力学系统中，状态变量是上或含的子系统上的力／速度。ü在机械旋转力学系统中，状态变量是转动惯量J／弹性系数k的刚体上的力矩／角速度。依此类推，可用一句话概括系统的状态变量：状态变量是物理系统中储能元件（单元）或含储能元件（单元）的子系统上的动力学信息量。2．完全表征完全表征意指：在时刻，对给定的，，则系统的内部演化行为和输出演化行为对完全确定。《信号与系统》第九章：线性系统的状态空间分析1．最小性在定义中隐含的一个概念：状态状态向量。最小内部变量组指状态是所有内部变量组中的极大无关组。2．状态选择的不唯一性按定义和注释1知状态的选择不唯一，任意两个状

5、态之间存在非奇线性变换关系。l定义（状态空间）：由状态向量张成的线性空间为状态空间。状态空间的维数定义为状态变量的个数，记为。通常是能量有限的，即（9-4）因此（9-5）在中定义了内积之后，成为维Hilbert空间。当确定后，即为维线性空间中的一个点，当变化时，表现为维线性空间中的一条运动轨迹，而这个空间一般都是定义内积操作的。在这个意义上，状态空间又与酉空间或欧氏空间等价，所以也经常表为（或）（9-6）（6）式隐含，是广义相空间的广义相轨迹，即把随的演化轨迹投影到维酉空间（是复变函数）或（是实函数）上。系统的输入和输出一般也是能量有限的，表示为《信号与系统》第九章：线

6、性系统的状态空间分析（9-7）ü当、，定义系统为单输入单输出（SISO）系统。经典的输入输出线性系统理论主要解决单输入单输出线性定常系统的分析与综合问题。ü当、，定义系统为多输入多输出（MIMO）系统。MIMO系统是状态空间方法研究的主要内容，当然，状态空间方法也适于SISO系统。ü注意：本课讨论的MIMO系统与通信领域的新体制MIMO系统有区别。通信物理层的MIMO体制，指多发多收；若把收发看作一个大系统，则通信的MIMO与系统理论中的MIMO又是一致的。本节最后，引入状态的第5个注释。1．状态空间维数前已指出，，在物理上，等于系统中独立储能元件的个数。所谓独立储能元

7、件指不能经串／并合一的储能元件（电压源短路，电流源断路）。此外，等于输入输出微分方程的阶数。ü注：在下面讨论中，常用或表示系统（3）或（1）。§9.2连续时间线性系统状态空间方程解考虑连续时间线性时变系统状态空间方程（9-8）其中，，。、、、分别为，、、实函数阵。《信号与系统》第九章：线性系统的状态空间分析只要求得状态方程解，则观测方程解就显见了。求解状态方程，关键是求解相应的齐次方程：（9-9）1．连续线性时变系统齐次状态方程解l定理1：对，，，，若，则解存在且唯一，表示为，（9-10）其中为矩阵，称为状态转移阵（statetransi