线性系统的状态空间分析

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1、线性系统的状态空间分析及单极倒立摆摘要：线性系统的状态空间分析在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下,现代控制理论在上世纪60年代开始形成并得到了迅速的发展。现代控制理论的重要标志和基础就是状态空间方法。现代控制理论用状态空间法描述输入、状态、输出等各种变量间的因果关系。不但反映系统输入与输出的外部特性，而且揭示了系统的内部结构特性，可以研究更复杂而优良的控制方法。现代控制理论既适用与单变量控制系统，又适用于多变量控制系统，既可以用于线性定常系统，又可用于线性时变系统，还可以用于复杂的非线性系统。倒立摆控制系统虽然作为热门研究课题之一，但见于资料上的大多采用现代控制方法，本课题的目

2、的就是要用经典的方法对单级倒立摆设计控制器进行探索。本文以经典控制理论为基础，建立小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数(摆长和摆杆质量)下的控制器使系统稳定，并利用MATLAB软件进行仿真。一．系统状态空间描述常用的基本概念1.状态和状态变量系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态。确定系统状态的一组独立（数目最小）的变量称为状态变量。只要知道某一初始时刻t0时的一组状态变量的值，并且知道从这一初始时刻起（t≥t0）的输入变量，则系统中的所有状态（或变量）在此刻及以后的数值或变化情况都能惟一确定，这就是“确定系统状态”的含义。在输入已知时，为了确定系统未来的运动状

3、态，一组状态变量的初值是必要而且是充分的。或者说，状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个数又最小的一组变量。用n阶微分方程描述的n阶系统，状态变量的个数是n。对于物理系统，状态变量的个数就是系统中独立储能元件的个数。一个系统中选取哪些变量作为状态变量并不是惟一的。状态不一定是可测量的物理量，有时也可能是只具有数学意义而没有物理意义。对于n阶系统，找到n个相互独立的变量就可以构成一组状态变量。但在工程实践中应当优先选取容易测量的物理量作为状态变量，因为在系统设计中要用状态变量作反馈量。2.状态向量如果n个状态变量用x1(t)、x2(t)、…xn(t)表示，并把这些状态变量看作是向量x(t

4、)的分量，则向量x(t)称为状态向量，记为x1(t)x(t)=x2(t)…xn(t)或3.状态空间以变量x1(t)，x(2)，…，xn(t)为坐标轴构成的n维空间。系统在任意时刻的状态空间x(t)都可用状态空间的一个点来表示。已知初始时刻t0的状态x(t0)，可得到状态空间的一个初始点，随着时间的推移，x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹线。4.状态方程描述系统的状态变量之间及其和系统输入量之间关系的一阶微分方程组，成为系统的状态方程。5.输出方程描述系统输出变量与状态变量（有时还包括输入变量）之间的函数关系的代数方程，称为系统的输出方程。6.状态空间表达式状态方程与输出方

5、程的组合称为状态空间表达式。它们构成对一个系统动态的完整描述。一般地对单变量系统，状态方程习惯写成如下形式：…+b1u…+b2u………+bnu输出方程为写成向量矩阵形式为x1式中，x(t)=x2表示n维状态向量；…xnA=表示系统内部状态关系的系数数据；b1B=b2表示输入对状态作用的输入矩阵；…bn表示输出与状态关系的输出矩阵。D为直接联系输入量与输出量的直接传递系数，或称前馈系数。对于多变量控制系统，设又p个输入，q个输出，其状态空间表达式的形式是…+…+…………+…+…+…………+用向量矩形形式表示（*）式中x和A同单变量系统。u1u=u2表示p维输入向量；…unB=为输入矩阵；y

6、1y=y2表示q维输出向量；…yqC=为输出矩阵；D=表示直接传递系数矩阵上述系统可简称为系统（A，B，C，D）。状态空间表达式描述的系统也可以用框图表示系统的结构和信号传递的关系。式(*)所描述的系统，对应的框图如下图所示。图中双线箭头表示向量信号。线性定常系统状态空间表达式的建立建立状态变量表达式常用的方法有两种。一种方法是根据系统的工作原理和所遵循的规律，选择有关的物理量作状态量，推导和整理成状态方程。第二种方法是由其他数学模型为状态空间表达式，包括由系统的动态微分方程式或传递函数推导出状态方程的几种方法。在这里主要研究前者，即根据系统的工作原理建立状态空间表达式。对于n阶实际系统

7、可以选为状态变量的物理量包括与独立储能元件能量有关的变量，或初选与输出变量及其导数有关的变量，或其他任意n个相互独立的变量作为状态变量。下面用例题说明建立状态空间表达式的方法。例，RLC电路如下图所示。电压u1、u2分别式输入变量和输出变量。建立空间表达式。＋－u1(t)Cu2(t)＋－RLi(t)RLC电路解根据电学原理，有电网络中有两个独立储能元件，电感和电容，系统是2阶系统，状态变量的个数是2。选取u2(t)和i(t)为状态变