信号与系统（任勇）第八章-z变换与离散系统z域分析.doc

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1、《信号与系统》第八章：变换第八章：变换§8.1定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）l定义（变换）：¨序列的双边变换：（8-1）¨序列的单边变换：（8-2）注：1）双边：（8-3）为Laurent级数，其中，是Laurent级数的正则部，是主部。2）是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边变换=双边变换。¨定义（逆变换）：对双边变换15《信号与系统》第八章：变换由Cauchy定理，有（8-4）其中，C为包围原点的闭曲线，定义：（8-5）注：（8-4）的求解：，，即可求得。图8-2柯西定理的证明示意图l收敛域：¨定义（收敛域）：对有界，使的的集

2、合。¨判别方法：，为充分条件（8-6）令，有两种判别级数收敛的方法。达兰贝尔方法：15《信号与系统》第八章：变换（8-7）柯西方法：（8-8）若，则收敛；若，则发散；若，则不定。l序列的分类与收敛域：¨右边序列：（8-9）（8-10）（8-11）为圆的外部。8-3因果序列收敛域（8-12）（8-13）¨左边序列：（8-14）15《信号与系统》第八章：变换（8-15）（8-16）为圆的内部。（8-17）（8-18）¨双边序列：（8-19）＝右边序列＋左边序列（8-20）右边序列，左边序列，若则为环状收敛域，则无公共收敛域。图8-4双边序列收敛域l典型序列变换：¨单位样值函数（8

3、-21）¨单位阶跃函数（8-22）¨斜升函数15《信号与系统》第八章：变换（8-23）¨指数函数（右边）（8-24）注：因式分解求变换的基础与变换不同，而¨复指数函数（8-25）¨指数函数（左边，逆因果序列）（8-26）§8.2变换计算方法（《信号与系统》第二版（郑君里）8.4）l留数方法：（8-27）图8-5双边序列收敛域中的围线C（8-28）15《信号与系统》第八章：变换注：1）（正）包围：逆时针方向走，极点在围线的左侧；负包围：逆时针方向走，极点都在围线的右侧。2）若的极点为阶，则当时，例：求：解：右边序列；Z=0随着n的取值不同分别是二阶、一阶极点，或不是极点。①当时

4、，极点为：②当时，极点为：Z3=Z4=0为二阶极点，其留数=6，可求得：③当时，有三个一阶极点：可求得：综上，有l部分分式展开法：类似拉氏变换，Z变换亦有其基本单元：15《信号与系统》第八章：变换（8-29）例：求：，1），2），3）解：图8-6X(z)/z的零极点1）2）3）15《信号与系统》第八章：变换§8.3变换性质（《信号与系统》第二版（郑君里）8.5）l线性性质：（8-30）l位移：用移位前序列的变换表示移位后序列的变换。¨双边变换移位性质：（8-31）收敛域注：1），右移（延迟）步；，左移（导前）步。2）引入步延迟算子：（8-32）¨因果序列右移的变换性质：（8-

5、33）因果序列左移的Z变换纳入下列性质。¨双边序列左/右移的单边变换：左移性质：（8-34）直观分析：左移m后，单边Z变换应该从序列的x(m)项开始。而原序列单边Z变换X(z)是从x(0)项开始的，因此需要减掉。口诀：左移项少应减掉。右移性质：15《信号与系统》第八章：变换（8-35）直观分析：右移m后，单边Z变换应该从序列的x(-m)项开始。而原序列单边Z变换X(z)是从x(0)项开始的，因此需要把这m项加上。口诀：右移项多须外扩。l线性加权ÛZ域微分（8-36）口诀：线性加权累，微分反号z。思考题：序列线性加权后，收敛域是否变化？l指数加权ÛZ域尺度变换（8-37）口诀：

6、指数加权补，尺度在分母。l初值定理：若为因果序列，则（8-38）l终值定理：若为因果序列，在单位圆上/外解析（在单位圆上，可有的任意阶极点），则（8-39）证明：是因果序列，则。由序列左移后的单边变换性质有：，于是例1：单位阶跃序列15《信号与系统》第八章：变换例2：指数序列。例3：指数序列，，则不宜用终值定理。例4：斜变序列，显然。由终值定理验证：，亦为无穷大。例5：事实上，序列一直振荡，终值不确定。l卷积定理：，，则（8-40）收敛域：两个z变换收敛域的公共部分。零极点相消可扩大收敛域。l域卷积定理——序列乘积的z变换：（8-41）C1为C2相同。收敛域：由的收敛域。即：

7、若令，常数，常数，则，则有15《信号与系统》第八章：变换（8-42）上式即为的卷积。lPaserval定理：（8-43）证明：令z=1，，得到定理公式。注：1）条件：收敛域含单位圆。2）单位圆的表示：，取式中为单位圆，。3）内积不变性：wT由-p®+p，则（8-43）式变为：（8-44）4）能量不变性：取，则（8-45）§8.4变换与变换的关系（《信号与系统》第二版（郑君里）8.6）l的关系：¨物理延迟：（a）15《信号与系统》第八章：变换（b）（c）图8-7物理延迟的表示：（a）时域、（b）S域、（c