信号与系统（任勇）第六章-傅里叶变换的应用

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1、《信号与系统》第六章：傅里叶变换的应用第六章：傅里叶变换的应用§6.1傅里叶系统函数（《信号与系统》第二版（郑君里）5.2）l系统的输入输出描述：¨时域直接描述图6-1适用范围：零状态，因果/非因果¨时域算子描述图6-2适用范围：零状态，因果/非因果（6-1）¨系统函数描述（复频域）图6-3适用范围：零状态，因果系统、因果信号¨傅立叶系统函数描述图6-4（6-2）定义（傅里叶系统函数）：14《信号与系统》第六章：傅里叶变换的应用（6-3）适用范围：零状态；是稳定信号；，即系统BIBO稳定；因果/非因果。¨微分方程描述：由，在零状态时为0；在零状态时可

2、能不为0。l谱方法类比：矩阵，为n个特征根，则有，为个线性无关的特征向量。由这些特征向量张成的线性空间为，则对，有（6-4）上式即所谓谱方法。类似地有：图6-5¨若，则，其中，为系统T的算子谱（特征根），为其特征函数，与线性代数中的谱方法相对应。¨若，则，即FT。（6-5）14《信号与系统》第六章：傅里叶变换的应用§6.2无失真传输（《信号与系统》第二版（郑君里）5.3）l失真的情况：图6-6若，则产生幅度失真；若，则产生相位失真，两者都是线性失真。若产生新的频率则为非线性失真。例：图6-7的平方器，使输出产生了新的频率分量，为非线性失真。图6-7l

3、无失真传输：输出再现输入，系统对输入不同频率分量的幅度加权相同，对不同频率分量的相位加权相等。（6-6）图6-8　　　注：1）群延迟：时间延迟。14《信号与系统》第六章：傅里叶变换的应用2）无失真传输系统全通系统。3）无失真传输系统BIBO稳定。思考：对于带通系统，怎样考虑其无失真传输带通信号？§6.3理想低通滤波器（《信号与系统》第二版（郑君里）5.4）l定义：对带限信号能无失真传输的系统。　　　图6-9（6-7）l冲激响应：不失一般性，令K=1，可求得（6-8）。这是因为输入的频谱无限宽，当理想低通滤波器的带宽也是无限宽，即时，则能无失真地传输输

4、入的信号，得到其延迟输出。(a)输入冲激信号(b)输出Sinc信号图6-10理想低通滤波器的冲激响应结论：理想低通滤波器——非因果，非BIBO稳定。当s®¥时，成为无失真传输网络。14《信号与系统》第六章：傅里叶变换的应用l阶跃响应：图6-11理想低通滤波器的阶跃响应（6-9）¨，为理想低通滤波器的等效带宽¨，为阶跃响应的上升时间，¨¨也可有其他定义：或，但无论怎么定义总有（常数）。¨为实现宽度为的脉冲信号的传输，需满足，即。¨输出解析表达式：（6-10）其中，，称为正弦积分。当时，阶跃响应仍然存在过冲，峰起仍为。lGibbs现象：有第一类间断点的信

5、号通过理想低通产生的现象。14《信号与系统》第六章：傅里叶变换的应用图6-12图6-13图6-14（6-11）Gibbs现象：在的第一类间断点处产生振荡。即使当时，相对峰起仍为，且在处，输出收敛至。可见，即使理想低通滤波器的截止频率为无穷大，即它已经成为无失真传输系统，当间断信号通过它时，也产生激烈的Gibbs震荡现象。思考题：脉冲信号的傅立叶变换为Sinc函数，那么时域跳变点附近是否存在Gibbs现象？怎样分析？14《信号与系统》第六章：傅里叶变换的应用§6.4系统的物理可实现性（Paley——Wiener准则）（《信号与系统》第二版（郑君里）5.

6、5）l物理可实现，即单位冲激响应是因果信号。l定理（Paley——Wiener定理）：对，若满足（6-12）则存在（6-13）使，其幅频特性可以物理实现。¨，则（6-14）¨在空间中，满足Paley—Wiener定理的幅度谱才可能有因果实现，不满足则不能物理实现。Paley—Wiener定理仅限于判定函数的物理可实现性，对于非函数，不能使用Paley—Wiener判决准则，迄今亦无规律性的结论可循。图6-15P-W条件的适用性¨无失真传输网络Þ，它不是平方可积的，。但是，纯电阻网络的冲激响应是冲激函数，它却是物理可实现的。这也表明，用Paley—Wi

7、ener准则来讨论系统函数的物理可实现性，首先要考虑它的适用范围，即L2空间。¨在非零测度集（有限频段）上为零，则一定物理不可实现。例如，理想滤波器不可物理实现。可用升余弦形状幅频特性的滤波器来逼近。14《信号与系统》第六章：傅里叶变换的应用高斯信号是速降信号，但其，不满足P-L准则，因此，不可物理实现。¨满足P—W条件，构造来实现的方法：1）已知；2）令，构造，零点／极点分布在全平面；3）取在左半开平面的零／极点构造，即为所求。由此方法得到的是严格最小相位的，在不考虑比例因子时，是唯一的。§6.5希尔伯特变换（HilbertTransform）（《

8、信号与系统》第二版（郑君里）5.6）l定义：实信号的Hilbert变换定义为：（6-15）的逆Hilbert