【2017年整理】高二排列与组合解决实际问题(理科)

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1、年级高二学科数学内容标题排列与组合解决实际问题（理科）编稿老师胡居化一、教学目标：（1）利用计数原理及排列组合知识解决综合性的实际问题，（2）体会方程的数学思想、等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想及捆绑法、插空法、隔板法等数学思想方法的应用.二、知识要点：1.解决有限制条件的排列组合问题的常用的数学方法：（1）直接法：从问题的正面入手，其基本方法有（i）元素分析法：即以元素为主，优先考虑特殊的元素的要求，再考虑其它的元素.（ii）位置分析法：即以位置为主，优先考虑特殊的位置，再考虑其它位置.（2）间接法：就是剔除不符合条件的情况，也叫排除法.在直接法和间接法中常用以下

2、一些方法解决排列与组合问题.枚举法：将所有排列的情形一一例举出来（适应排列数较少）捆绑法：用于两个（或更多）元素排在一起（看成一个元素）.插空法：用于两个（或更多）元素不相邻排列.隔板法：用于相同的元素分成若干部分.每部分至少一个的排列2.某些元素定序排列问题处理方法对于某些元素定序排列问题的处理方法有两种：（1）整体法，即有m+n个元素的排成一列，其中m个元素的排列顺序不变，将（m+n）个元素排成一列有种排法，然后任取一个排列，固定其它n个元素位置不动，把m个元素交换顺序，共有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种不同的排法.（2）逐步插空法.3.分组分配问题

3、的处理方法（1）分组问题的处理途径：（a）非均匀不编号分组：即将n个不同的元素分成m组，每组元素个数均不同，（m组中的元素个数分别是，其中）则分法种数是（b）均匀不编号分组（平均分组）：将n个不同的元素平均分成m第22页版权所有不得复制组（每组元素个数相同都是a），则不同的分组方法有，（其中n=ma）（2）分配问题：将n个不同的元素分给m个人称为分配问题，处理的方法：先分组后分配.【典型例题】知识点一：有限制条件的排列组合问题例1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3张，磁盘至少买2盒，则不同的选购方

4、法有（）A.5种B.6种C.7种D.8种题意分析：本题是限制条件的组合问题，根据所给选项数字较小，不好使用计数原理，可用枚举法解决.思路分析：本题的限制条件有三个，分别是（i）软件至少3张，（ii）磁盘至少2盒，（iii）花钱总数不超过500元，故要对购买的软件数和磁盘数进行讨论.解题过程：对购买的软件数、磁盘数进行讨论如下：（1）软件买3张，磁盘买2盒，花钱320元；（2）软件买3张，磁盘买3盒，花钱390元；（3）软件买3张，磁盘买4盒，花钱460元；（4）软件买4张，磁盘买2盒，花钱380元；（5）软件买4张，磁盘买3盒，花钱450元；（6）软件买5张，磁盘买2盒，

5、花钱440元；（7）软件买6张，磁盘买2盒，花钱500元.故选购方式有7种，选C.解题后的思考：本题解决的关键是：购买的软件数（单位是元）.体现了分类讨论的数学思想的应用，易错点是：分类出现：重和漏的现象.例2.某小组6个人排队照相留念：（1）若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？（2）若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？（3）若排成一排照相，甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照相，6个人中有3名男生和3名女生，且男生不能相邻，有多少种不同的排法？（5）若甲、乙、丙三人的顺序不变

6、有多少种排法？题意分析：本题是排队问题，这类问题都是排列问题.思路分析：对于（1）是6个元素的全排列，（2）采用元素分析法，优先安排甲，乙两个特殊元素，（3）采用捆绑法，（4）采用插空法，（5）定序问题采用倍缩法.解题步骤：（1）分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列=720种；第22页版权所有不得复制（2）先确定甲的排法，有种，再确定乙的排法，有种，最后确定其他人的排法，有种，共有=192种；（3）采用“捆绑法”，先把甲、乙看成1人，与其他人排队有种，然后甲、乙之间再排队，有种，共有=240种；（4）采用

7、“插空法”，先把3名女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4把椅子，如：×女×女×女×，再将3名男生排在这4个位置上有种，3名女生之间有种排法，共有=144种排法.（5）在不考虑任何限制的条件下6个人的排列有种，其中甲乙丙三人的排列有种，由于甲乙丙顺序不变，故只有其中的一种排法符合要求，即有120种.解题后的思考：对于排列组合中必须在一起的元素处理时把它捆绑为一个整体，然后考虑其内部的位置关系；对于排列中不能相邻的元素，采用插空法处理，即把整个位置看作是一个抽屉，把无条件限制的元素作为隔板安置在抽屉中，最后把要求不相邻的元素放置