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时间:2019-01-05
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1、如何轻松解决排列与组合问题 排列与组合问题,一直是困扰学生学好数学的一个难题。通过分析多年的教学经验,总结出两种解题方法供大家参考。 数学排列组合一、排列与组合的解题方法的归类 1.解题的指导思想:分类加法,分步乘法;有序排列,无序组合 2.解题的原则:特殊元素(或特殊位置)优先法 3.解题的方法:选法(直接法)和抛法(间接法) 4.常见题型及解题策略: 题型一:特殊元素或特殊位置优先法(即先解决特殊元素或特殊位置) 例1:甲乙等6人站成一排,其中甲不能站在最左端,乙不能站在最右端,则共有多少不同的站法? 解析:方法一(选法): 第
2、一类:甲站在最右端共有A55种; 第二类:甲站在中间4个位置有C14C14A44种; 综上,共有A55+C14C14A44=504种。 方法二(抛法):即抛去甲在最左端的情况和乙在最右端的情况。共有A66-A55-A55+A44=504种。 题型二:相邻问题用捆绑法(捆相邻元素,且注意其有序性) 例2:7个人站成一排,甲、乙、丙三人相邻,共有多少种的站法?5 解析:把甲、乙、丙3人看成1人与其余4人站成一排共有A55种站法,再把甲、乙、丙3人进行排列有A33种站法,此两步完成之后共有A55A33种不同站法(分步乘法,有序排列)。 题型三:
3、不相邻问题用插空法(谁不相邻谁去插空,每空最多插入一个元素) 例3:6人站成一排,甲、乙不相邻且甲、丙也不相邻的站法共有多少种? 解析:方法一(抛法):6人全排列,再抛掉甲、乙相邻和甲、丙相邻的情况,则共有A66-2A22A55+A22A44=288种不同的站法。 方法二(选法):把其余3人先排好有A33种方法,再让甲、乙去插空,有A24种方法,最后丙再去插空,但不能站在甲的左右两端,共有A14种方法,完成这件事共有A33A24A14=288种站法。 题型四:顺序不变问题用除法或定位法 例4:6人站成一排,要求甲在乙前面,乙在丙前面,则共有多
4、少种不同的排法? 解析:方法一(除法):6人全排列有A66种方法,其中有甲、乙、丙所有顺序的共A33种,而我们只要其中一种情况,甲―乙―丙符合,则共有A661A33=120种。 方法二(定位法):从6个位置中选出3个位置有C36种选法,此时,甲、乙、丙顺序不变,他们3人只有一种坐法,其余3人在剩余3个位置站好有A33种站法,则一共有C36A33=120种方法。 题型五:不回原位置问题(每个元素从自己位置出来,再回到位置上去,但不能回到原来的位置)5 记住以下3种不回原位置情况即可: (1)2人不回原位置:只有两人交换位置,即1种方法; (2
5、)3人不回原位置:其中每人都有2个位置可去,共有2种方法; (3)4人不回原位置:先安排其中1人有3种方法,再安排被占位置的那个人也有3种方法,此时剩余2人只有一种方法,故共有3×3=9种方法。 题型六:涂色问题用分类的方法(以用的颜色的多少去分类,这样不重不漏。注意先选颜色再涂颜色) 例6:有5种不同颜色的鲜花,要种植在图中的5块区域内,每个区域只能种一种颜色的花,相邻区域不能种同一种颜色的花,则共有多少种不同的种植方法?ABCED解析:此题以用的鲜花颜色的多少分类 第一类:用5种颜色的鲜花,有A55种方法; 第二类:用4种颜色的鲜花,但要
6、先选择颜色再种植,共有C45?2A44种方法,(此时,AD或BE必植同一颜色的鲜花); 第三类:用3种颜色的鲜花(同上):有C35A33种方法(此时,AD和BE分别种一种颜色); 综上,共有A55+C45?2A44+C35A33=420种不同的种法。 题型七:平均分配问题用除法(要注意平均分配问题的有序性) 例7:(1)6人平均分成3组有多少种不同的分法? (2)把6人平均分到甲、乙、丙3个单位共有多少种不同的分配方法?5 解析:(1)6人平均分组是与顺序无关的问题,则有C26C24C221A33=15种不分法。(注:C26C24C22本身
7、为排列,即与顺序有关的) (2)把6人平均分到3个不同的地方是与顺序有关的问题,则有C26C24C221A33?A33=90种。另解:可以让甲、乙、丙3个单位派人来领6人中的2人,即C26C24C22=90种。 题型八:档板法(适用范围是把n个相同元素分配到m(m8、类解决,即以名额的分配多少分类: 第一类:有一个班4个名额,其余班各有一个名额,有C17种
8、类解决,即以名额的分配多少分类: 第一类:有一个班4个名额,其余班各有一个名额,有C17种
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