如何有效解决排列组合问题

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1、如何有效解决排列组合问题摘要：木文结合只体的例题对如何解决排列组合问题进行了分析和探讨。关键词：观察；木质；排列组合作者简介：徐海峰，任教于湖北省云梦县第一中学。解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚要完成的是一件什么事,属于排列还是组合，还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的木质特征,正确合理地利用两个计数原理，进行分类或分步。分类计数原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：（1）类与类必须互斥（保证不重复）（2）总类必须完备（保证不漏）。分步计数原理的特征是分步解决问题，分步也必须满足两个条件：（1）步与步互相

2、独立互不干扰；（2）总步确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题最基木的思想策略，在实际操作中，往往是“步”“类”交叉，有机结合。一、合理分类，准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，作到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。例1:五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：（1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有种排法；（2）若甲在第二，三，四位上，则有种排法；第二步安排乙也有种排法：第三步安排其余三人共有种排法，由分步计数

3、原理可得井有种排法。由分类计数原理，共有种排法。二、注意转化，化难为易对于一些生疏问题或直接求解较为复杂、困难的问题，从正面入手情况复杂，不易解决，这时可以从反面入手，将其转化为一个简单问题来处理。例2马路上有8盏路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？分析：关掉第一盏灯的方法冇6种，关第二盏，第三盏吋需分类讨论，十分复杂。若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在5盏亮灯的

4、4个空中插入3盏暗灯”的问题，故关灯的方法种数为=4种。三、“优先”对待，灵活掌握对于问题中的特殊元素或特殊位置要优先安排，在操作时针对实际问题，有时元素优先，有吋位置优先，需灵活掌握，简便为主。例3从6名运动员中选4名参加米接力赛，若其中甲乙两人都不跑第三棒,共有多少种参赛方案？分析：这是一个选排列问题，应位置优先。第一步谁跑第三棒冇种方法；第二步从剩下的5人中选3人跑其余三棒，有种方法，根据分步计数原理，共有种不同的参赛方案。四、“捆绑”分析，巧解问题对于某些元素要求相邻排列，或要求分在一组中可以用“捆绑法”，当作一个元素与

5、其他元素一起考虑，就很容易解决问题。捆绑在一起的元素，若是排列问题，还需“松绑”。例45个男生3个女生排成一列，要求女生排在一起，共有几种排法？分析：先把3个女生捆绑为一，与其他5个男生全排有种排法，同吋，3个女生自身全排有种排法，有分步计数原理得共有种不同的排法。例54名男歌手与2名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求2名女歌手之间恰有2名男歌手，则出场方案有几种？分析.•这是一个全排列问题。2名女歌手和他们之间的2名男歌手组闭为一，6名歌手转化成3名歌手的排列问题，有种排法；而2名女歌手有种排法，她们之间2名男歌手是

6、从4名男歌手中选出的两名，有种选法。根据分步计数原理,共有种出场方案。五、元素间隔，分位插入对于某些元素，要求有间隔的排列用插入法。用插入法要注意三点：（1）插入时必须分清谁插入谁的问题，要先排无限制条件的元素，后插入必须间隔的元素；（2）数清可插入的位置数；（3）插入吋是以组合的形式插入还是排列形式插入，要把握准确。例65个男生和3个女生排成一排，要求女生不相邻，且不可排两头，共有多少种排法？分析：第一步先排5名男生，有种排法；第二步在5名男生之间的四个间隙中插入3名女生，有种插法，根据分步计数原理，共有种排法。六、元素定序，

7、可不考虑例7晚会上有5个不同的歌唱节0和3个不同的舞蹈节0,如果3个舞蹈顺序一定，那么可排除几种不同的节目单？分析：由于3个舞蹈节B顺序一定，因此只需考虑5个歌唱节0的排列即可，一共可排出6720种不同的节0单。七、排组混合，先选后排例8从1、2、3、4、…8、9这九个数字中选出3个奇数2个偶数，可组成多少个没有重复数字的五位数？分析：从1、3、5、7、9中选3个奇数，有种选法，从2、4、6、8中选2个偶数有种选法，再把这三个奇数和两个偶数进行排列，有种排法，根据分布计数原理，共可组成7200个没有重复数字的五位数。八、分排问题

8、，直排处理若n个元素要分m排排列，可把每排首尾相连排成一列，对于每排的特殊要求只要分段考虑特殊元素，然后对其余元素作统一排列。例92个老师，四个女生，12个男生，排成三排照相，要求第一排5人,第二排6人，第三排7人，且老师在第一排，女生在第二排，共有几种不冋的排