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《解决排列组合问题的有效策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、解决排列组合问题的有效策略可以说排列组合是研究计数问题的策略学，所以解答排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：(1)类与类须互斥(保证不重)，(2)总类必须完备(保证不漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”“类”交叉，有机结合，可以用
2、下面的电路图说明之(完成一件事表明“电路打通――电灯亮”)。 类中有步：先分类再分步，运算特征，和中有积。 步中有类：先分步再分类，运算特征：积中有和。 本文对几种典型的排列组合问题进行策略分析，拟找到解决相应问题的有效方法，并辅之实例说明，供参考。1 特殊优先 一般在后 对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”有时“位置优先”。例1 0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？简析1 这里百位与个位是特殊位置，0是特殊元素。若从“元素优先”考虑，则先对0分两
3、类。第一类：有0，再分为两类，0在个位分两步有个，0不在个位分步有Pl1个；第二类：无0，此时只有个位是特殊位置，分两步，先由2,4选排个位有个，再由其余三个元素排其余两位，由加法原理，偶数共有=30(个)。简析2 若从“位置优先”考虑，可分0在个位与0不在个位两类。0在个位有，0不在个位时，分三步，先由2,4中选一个排个位，再由3,4(2),5中选一个排百位，最后由剩下的三个数(包括0)排十位。由加法、乘法原理得偶数共有=30(个)。注意 合理分类、准确分步是确保问题解决的前提，本题是“分类与分步交叉”的典型例子。2 排组混合 先选后排
4、对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。例2 4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒内，则恰有一个空盒的放法有几种？ 简析 因恰有一个空盒，故必有一个盒内有2个小球，(同一盒内的球是组合)，而不同的球放入不同的盒子是排列，因此，这是一个排列与组合的混合问题。可先从四个球中选出两个有种，并把这两球视为一球与其余两球分别排入四个盒内有，由乘法原理，共有种。(同一盒内的球必须一次进入) 3 元素相邻 捆绑为一 对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑并看作1个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行
5、自排。 例3 5个男生和3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？ 简析 先把3个女生捆绑为1，与其它5个男生全排有，同时，3个女生自身全排有，由乘法原理得共有种。 4 元素间隔 分位插入 对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。 例4 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？ 简析 先排无限制条件的5个男生有种，由于女生不相邻且不可排两头，故3个女生只能分别插在5个男生的5个间隙中，有种(若允许女生排两头，则有种插法)，由乘法原理得共有种。 注意 (1)插入时必须分清“谁插谁”的问题。要先
6、排无限制条件元素，再插入必须间隔的元素；(2)数清可插的位置数(如本例在男生的两头不能插)；(3)插入时是以组合形式插还是以排列形式插入要把握准。 例5 把1,2,3,…，20这20个数分成四组，若组内的数不少于两个时必须是连续自然数，则有几种分组方法？ 简析 由于要求组内的数是连续的，因此，只要不改变由小到大的顺序，并在19个间隙中不相邻地插入3块“挡板”，把20个数分隔成4段，即分成了四组，共有种分组法(这里是以组合形式插入)。 例6 马路上有编号为1,2,3,…,9的9盏路灯，现在关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏
7、，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？ 简析 由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗即可，有种。 思考：从1,2,…,10这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不同的取法？() 5 元素定序 先排后除 或选位不排 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排。或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。 例7 5人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？ 简析1 先5人全排有种，由于全排中有甲、乙的全排种数，
8、而这里只有1种符合要求的，故要除以定序元素的全排种，所以有=60种。 简析2 先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有种，再排列其它3人有种，由乘法原理得共=60种。 思考：要编制一
