二项分布及其应用

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1、第五章第二节二项分布（p67）在医学领域的随机事件中，最简单的是只有两种互斥可能结果随机事件，称为二项分类变量（dichotomousvariable），如接受治疗后的结果是有效、还是无效；某种化验的结果是阳性、还是阴性，手术后是生存、还是死亡。对这类问题的研究，不仅要确定2个可能出现的随机事件的概率，有时还要计算在独立、重复地进行N次相同的观察下，某一事件出现k次的概率。二项分布（binomialdistribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。二项分布的概念瑞士数学家JamesBernoulli对只有两种可能结

2、果的随机试验进行研究，当成功的概率（π）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为贝努里试验（Bernoullitrial）。N次独立、重复的Bernoulli试验也就称为n重Bernoulli试验。满足以下条件：1、每次试验只有两个互斥的一种结果，记为A和，所以如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。2．独立是指各次试验出现的结果之间是无关的。3．重复是指每次试验的条件不变，保证了在各次试验中结果发生的概率不变。二项分布描述的是在n次贝努里试验中，“结果A出现k次”这一随机事件的取值及其概率。如果用随机变量X（X=0,1,…,n）表示在Bernoulli试

3、验中，结果A出现的次数。则X服从二项分布，记为x服从,概率可用下面的二项分布概率公式来描述：例题：已知用某种药物治疗某一非传染疾病的有效率为60％，今用该药治疗该病患者20人，试计算其中12人有效的概率。解：根据题意，以X表示“所用药物治疗该病有效的人数”,X服从二项分布，已知n=20,=0.6,x=12。二项分布的特征1、二项分布的图形已知π和n，就能按公式计算X=0，1，…，n时的P（X）值。以X为横坐标，以P（X）为纵坐标作图，即可绘出二项分布的图形，二项分布的形状取决于π和n的大小，高峰在=n处。当接近0.5时，图形是对称的；离0.5愈远，对称性愈差，但

4、随着n的增大，分布趋于对称。当n→∞时，只要不太靠近0或1，特别是当nP和n(1－P)都大于5时，二项分布近似于正态分布。π=0.5时,不同n值对应的二项分布π=0.3时,不同n值对应的二项分布2、二项分布的均数与标准差二项分布的总体均数：方差：标准差：如果将出现阳性结果的频率记为p,p的取值为则p的总体均数为：标准差为：σp是样本率的标准误的理论值，当π未知时，常用样本率p作为π的估计值，由以上得知，样本率的标准差即率的标准误，可以用来描述样本率的抽样误差，率的标准误越小，则说明率的抽样误差越小。总体均数：总体标准差：总体率的标准误二项分布的累计概率（cumulati

5、veprobability）常用的有左侧累计和右侧累计两种方法。从阳性率为π的总体中随机抽取含量为n的样本，则（1）最多有k例阳性的概率（2）最少有k例阳性的概率其中，X＝0,1,2,…,k,…,n。一、总体率的区间估计总体率的估计也有点（值）估计和区间估计，点估计是简单地用样本率来估计总体率；区间估计是求出总体率的可能范围。样本率的理论分布和样本含量n、阳性率p的大小有关，所以需要根据n和p的大小不同，分别选用下列两种方法：二项分布的应用（一）查表法当样本含量n较小，如n≤50，特别是p很接近于0或1时，按二项分布的原理估计总体率的可信区间。因为其计算过程较复杂，统计学

6、家已经编制了百分率的可信区间（附表），可直接根据样本含量n和阳性数X查出总体率的可信区间。例题从某学校随机抽取26名学生，发现有4名感染沙眼，试求该校沙眼感染率95％的可信区间。本例n=26，X=4，查附表7的可信度为95％的可信区间为(0.04，0.35)，即(4％，35％)。见p438（二）正态近似法当样本含量n足够大，且样本率p或1-p均不太小，如np与n（1-p）均大于5时，样本率p的抽样分布近似正态分布，总体率π的可信区间可按下式进行估计。例题某研究者测得，158名正常男性HBgAg，其阳性率为15.35%，试计算出样本率的抽样误差及总体阳性率的95%可信区间。

7、解：本例p＝0.1535n＝158代入总体率95%可信区间为：p±1.96Sp=0.1535±1.96×0.0287=0.0972～0.2097即：9.72%～20.97%二、样本率与总体率比较比较目的：推断样本率所代表的总体率π与某已知总体率π0是否相等。1．直接概率法：当　　　或　　　　时（1）检验假设（2）直接计算概率P值当　　　时，当　　　时，（3）做出推断结论当　　，在=0.05检验水准拒绝　，接受　，可以认为两总体率不同。当　　，在=0.05检验水准不拒绝　，尚不能认为两总体率不同。抗生素治疗小儿上呼吸道