模糊控制论-理论基础

《模糊控制论-理论基础》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

模糊控制论－理论基础 2/102目录2.1引言2.2模糊集合论基础2.4模糊控制系统的组成2.5模糊控制系统的设计2.6模糊PID控制器2.7模糊控制器的应用2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 3/102模糊控制的发展历史1965年，L.A.Zadeh提出模糊集理论；1972年，L.A.Zadeh提出模糊控制原理；1974年，E.H.Mamdani应用于蒸汽机和锅炉控制中；80年代：污水处理、汽车、交通管理模糊芯片、模糊控制的硬件系统；90年代：家电、机器人、地铁；21世纪：更为广泛的应用。 4/102模糊控制的特点无需知道被控对象的数学模型与人类思维的特点一致模糊性经验性构造容易鲁棒性好 5/102主要内容模糊控制的理论基础模糊集合论基础模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成模糊控制系统模糊控制系统的组成模糊控制系统的设计模糊PID控制器模糊控制器的应用 6/102目录2.1引言2.2模糊集合论基础2.4模糊控制系统的组成2.5模糊控制系统的设计2.6模糊PID控制器2.7模糊控制器的应用2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 7/1022.2模糊集合论基础2.2.1模糊集概念2.2.2模糊集合运算2.2.3模糊集合运算的基本性质2.2.4隶属度函数的建立2.2.5模糊关系 8/102经典集合19世纪末德国数学家乔•康托(GeorageContor，1845-1918)，是现代数学的基础。内涵和外延都必须是明确的经典集合论表示方法特点列举法定义法归纳法特征函数法 9/102表示方法列举法：U=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝归纳法：U=｛ui+1=ui+1，i=1,2,9，u1=1｝特征函数法定义法：U=｛u|u为自然数且u<5｝表示方法 10/102特征函数法用特征函数值表示元素属于集合的程度 11/102隶属度函数将特征函数值扩展为上取值的隶属度μF（DegreeofMembership），描述思维和语言的模糊性。 12/102模糊集合(FuzzySets)1F={（u,μF(u))|u∈U}（离散域，序偶表示法）论域U中的模糊集F可以用元素u和它的隶属度μF来表示（查德表示法）（连续域） 13/102支集(Support)模糊集合F的支集S是一个普通集合，它是由论域U中满足μF(u)>0的所有u组成的，即 14/102模糊单点(Singleton)如果模糊集合F的子集在论域U上只包含一个点u0,且μF(u0)=1,则F就称为模糊单点。即 15/1022.2模糊集合论基础2.2.1模糊集概念2.2.2模糊集合运算2.2.3模糊集合运算的基本性质2.2.4隶属度函数的建立2.2.5模糊关系 16/1022.2.2模糊集合的运算考察具有公共论域U的模糊集合A、B之间的各种运算关系，包括以下内容：相等、包含空集、全集交、并、补其他 17/102相等、包含空集、全集对于所有的u∈U，均有μA(u)＝μB(u)。记作A=B。相等对于所有的u∈U，均有μA(u)≤μB(u)。记作AB。包含对于所有的u∈U，均有μA(u)＝0。记作：A＝。空集对于所有的u∈U，均有μA(u)＝1。全集 18/102交、并、补如果模糊集合C具有以下性质：对于所有的u∈U，均有μC(u)=μA∧μB=min{μA(u),μB(u)}则称C为A与B的交集，记为C=A∩B交集对于所有的u∈U，均有μC(u)=μA∨μB=max{μA(u),μB(u)}。则称C为A与B的并集，记为C=A∪B。并集对于所有的u∈U，均有μB(u)=1-μA(u)则称B为A的补集，记作补集 19/102举例已知模糊子集求 20/102求解 21/102代数积代数和有界和有界差有界积其它运算 22/1022.2模糊集合论基础2.2.1模糊集概念2.2.2模糊集合运算2.2.3模糊集合运算的基本性质2.2.4隶属度函数的建立2.2.5模糊关系 23/102幂等律结合律交换律分配律模糊集合运算的基本性质1 24/102同一律零一律吸收律德·摩根律双重否认律模糊集合运算的基本性质2 25/102与经典集合性质的比较基本性质完全相同模糊集运算不满足互补律 26/1022.2模糊集合论基础2.2.1模糊集概念2.2.2模糊集合运算2.2.3模糊集合运算的基本性质2.2.4隶属度函数的建立2.2.5模糊关系 27/102是一个关键问题是一个难题具有“模糊性”、经验性和主观性无统一的设计方法具有客观的原则隶属度函数的建立 28/102隶属度函数的设计原则1必须是凸模糊集合（呈单峰形）通常是对称和平衡的要遵从语意顺序、避免不恰当的重叠 29/102隶属度函数的设计原则2考虑重叠指数（一般取重叠率为0.2～0.6、或鲁棒重叠性0.3-0.7） 30/102举例重叠率=0重叠鲁棒性=0重叠率=5/35=0.143重叠鲁棒性＝5/20=0.25重叠率=10/30=0.333重叠鲁棒性=10/20=0.5 31/102设计方法模糊统计法例证法专家经验法二元对比排序法 32/102隶属度函数的常见形状1Z函数 33/102隶属度函数的常见形状2S函数 34/102隶属度函数的常见形状3Π函数 35/1022.2模糊集合论基础2.2.1模糊集概念2.2.2模糊集合运算2.2.3模糊集合运算的基本性质2.2.4隶属度函数的建立2.2.5模糊关系 36/102模糊关系普通关系：表示元素之间是否关联。模糊关系：表示两个论模糊集合之间的关联程度，用其直积空间的隶属度函数表示。定义：所谓A，B两集合的直积中的一个模糊关系R，是指以A×B为论域的一个模糊子集，序偶(a,b)的隶属度为μR(a,b)。 37/102多元关系二元关系多元关系：考察n个集合的直积A1×A2...×An，其隶属度函数为：μR(a1,a2,...,an) 38/102模糊集合表示法举例考查两个整数间的“大得多”的关系。设论域U=｛1，5，7，9，20｝。模糊关系的表示方法1 39/102模糊关系的表示方法2模糊矩阵表示法（适用于二元关系）其中 40/102笛卡尔积算子（算子）A1，A2，...，An的笛卡尔积是在积空间U1×U2×...×Un中的一个模糊集，其隶属度函数为：直积（极小算子）用μmin表示代数积：用μAP表示 41/102例2-9考虑如下模糊条件语句如果C是慢的，则A是快的。其中C，A分别属于两个不同的论域U，V。其隶属度函数分别为：A=快=0/0+0/20+0.3/40+0.7/60+1/80+1/100；C=慢=1/0+0.7/20+0.3/40+0/60+0/80+0/100。求它们的直积和代数积。 42/102直积 43/102代数积 44/102模糊关系的合成背景：已知：IFATHENB，IFBTHENC求：IFATHENC定义：如果R和S分别为笛卡尔空间U×V和V×W上的模糊关系，则R和S的合成是定义在笛卡尔空间U×V×W上的模糊关系，并记为RoS。其隶属度函数的计算方法有两种。 45/102模糊关系的合成的隶属度函数计算上确界（Sup）算子下确界（Inf）算子： 46/102例2-10已知某家中子女与父母的长像相似关系R：父母与祖父母的相似关系S：求：家中孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度。R父母子0.20.8女0.60.1S祖父祖母父0.50.7母0.10 47/102解 48/102合成算子Sup-min的特性1分配率 49/102结合律包含转置运算不满足交换律合成算子Sup-min的特性2 50/102目录2.1引言2.2模糊集合论基础2.4模糊控制系统的组成2.5模糊控制系统的设计2.6模糊PID控制器2.7模糊控制器的应用2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 51/102模糊逻辑模糊逻辑是研究含有模糊概念或带有模糊性的陈述句的逻辑。是不确定性推理的主要方法之一。是经典数理逻辑的推广。 52/1022.3.1二值逻辑2.3.2模糊逻辑的基本运算2.3.3模糊语言逻辑2.3.4模糊逻辑推理2.3.5模糊关系方程的解2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 53/102二值逻辑命题P中的元素可以赋予一个二元真值T(P)。在二元逻辑中，T(P)或者为1（真）或者为0（假）。设U是所有命题构成的论域，则T就是从这些命题（集合）中的元素u到二元值（0，1）的一个映射：T:u∈U→(0,1) 54/102名称符号意义析取“∨”“或”的意思合取“∧”“与”的意思否定“－”是对原命题的否定蕴涵“→”表示“如果...那么...”等价“”表示两个命题的真假相同，是“当且仅当”的意思命题联结词 55/1022.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成2.3.1二值逻辑2.3.2模糊逻辑的基本运算2.3.3模糊语言逻辑2.3.4模糊逻辑推理2.3.5模糊关系方程的解 56/102模糊命题模糊命题是普通命题的推广。模糊命题的真值不是绝对的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隶属于“真”。所以真值的运算也就是隶属度函数的运算。 57/102模糊逻辑补用来表示对某个命题的否定.，模糊逻辑合取模糊逻辑析取基本运算1 58/102模糊逻辑蕴含如P是真的，则Q也是真的，模糊逻辑等价模糊逻辑限界积各元素分别相减部分作为限界差。基本运算2 59/102模糊逻辑限界和模糊逻辑限界差各元素分别相加，比1小的部分作为限界和。各元素分别相减部分作为限界差。基本运算3 60/102幂等律交换律结合律吸收律P∨P=P，P∧P=PP∨Q=Q∨P，P∧Q=Q∧PP∨(Q∨R)=(P∨Q)∨R,P∧(Q∧R)=(P∧Q)∧RP∨(P∧Q)=P，P∧(P∨Q)=P分配律P∨(Q∧R)=(P∨Q)∧(P∨R),P∧(Q∨R)=(P∧Q)∨(P∧R)基本定律1 61/102双否律交换律常数运算法则注意互补律在模糊逻辑中不成立基本定律2 62/1022.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成2.3.1二值逻辑2.3.2模糊逻辑的基本运算2.3.3模糊语言逻辑2.3.4模糊逻辑推理2.3.5模糊关系方程的解 63/102模糊语言逻辑模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑。针对自然语言的模糊性；涉及概念：语言值语言变量语言算子 64/102语言值语言中与数值有直接联系的词，如长、短、大、小等，可以再加上语言算子（如很、非常、较、偏等）而派生出来的词组。可以用模糊数来表示。所谓模糊数，指至少有一个元素u的隶属度值为1的模糊子集。举例：［个子高］=0.2/150+0.4/160+0.6/170+0.8/180+1/190+1/200 65/102语言变量用一个五元素的集合（X，T(X)，U，G，M）来表征。 66/102语言算子语气算子模糊化算子判定化算子 67/102语气算子表示语言中对某一个单词或词组的确定性程度。包括强化算子和淡化算子强化算子，如“很”、“非常”等淡化算子，如“较”、“稍微”等Hλ(A)=Aλ（A为语言值） 68/102如“大概”、“近似于”、“大约”等。把原来的概念模糊化。记模糊化算子为F。则模糊化变换可表示为F(A)，并且它们的隶属度函数关系满足：其中，μR(x,c)是表示模糊程度的一个相似变换函数，通常可取正态分布曲线，即：模糊化算子 69/102判定化算子肯定化处理，例如“倾向于”、“大半是”等。记判定化算子为P，则判定化变换可表示为P(A)，并且它们的隶属度函数关系满足：当取α=1/2时，P1/2可用来表示“倾向于”。 70/1022.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成2.3.1二值逻辑2.3.2模糊逻辑的基本运算2.3.3模糊语言逻辑2.3.4模糊逻辑推理2.3.5模糊关系方程的解 71/102模糊逻辑推理不确定性推理方法的一种方法还在发展之中，比较典型的有扎德（Zadeh）方法、玛达尼（Mamdani）方法、鲍德温（Baldwin）方法、耶格（Yager）方法、楚卡莫托（Tsukamoto）方法。最常用的是玛达尼极大极小推理法。 72/102常见种类近似推理（常识性推理）广义肯定式推理广义否定式推理模糊条件推理多输入推理多输入多规则推理 73/1021.近似推理：广义肯定式推理前提1：如果x是A，则y是B前提2：如果x是A＇，结论：y是隶属度函数的计算 74/102模糊关系矩阵R的计算采用Mamdani推理法模糊蕴含最小运算法模糊蕴含积运算法 75/102广义否定式推理前提1：如果x是A，则y是B前提2：如果y是B＇，结论：x是隶属度函数的计算其中：（Zadeh推理法） 76/102例2-14考虑如下逻辑条件语句：如果“转角误差远远大于15°”，那么“快速减少方向角”；其隶属度函数定义为：A=转角误差远远大于15°=0/15+0.2/17.5+0.5/20+0.8/22.5+1/25B=快速减少方向角=1/-20+0.8/-15+0.4/-10+0.1/-5+0/0。求：当A＇=转角误差大约在20°时，方向角应该怎样变化？ 77/102步骤1定义A＇=转角误差大约在20°的隶属度函数=0.1/15+0.6/17.5+1/20+0.6/22.5+0.1/25则问题化为已知μA(x)=[0,0.2,0.5,0.8,1],μB(y)=[1,0.8,0.4,0.1,0]当μA＇(x)=[0.1,0.6,1,0.6,0.1]时,求解B＇。 78/102步骤2由玛达尼（Mamdani）推理法计算出关系矩阵： 79/102步骤3计算代数积算子直积算子 80/102代数积算子 81/102直积算子问题：如何比较两种算子？ 82/1022.模糊条件推理如果x是A，则y是B，否则y是C。其逻辑表达式为：模糊关系R：隶属度函数：推理结论 83/1023.多输入模糊推理前提1：如果A且B，那么C前提2：现在是A＇且B＇结论：基于玛达尼推理，则模糊关系矩阵为： 84/102例2-16已知、时，问、时， 85/102解 86/102 87/102推理简化（削顶法）推理形式可等价为可得隶属度关系如下：α是指模糊集合A与A＇交集的高度。 88/102削顶法图示 89/1024.多输入多规则推理如果A1且B1，那么C1否则如果A2且B2，那么C2：否则如果An且Bn，那么Cn已知A＇且B＇，那么C＇=？在这里，An和A＇、Bn和B＇、Cn和C＇分别是不同论域X、Y、Z上的模糊集合。 90/102推理方法推理结果可表示为其中 91/102推理过程图示 92/1022.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成2.3.1二值逻辑2.3.2模糊逻辑的基本运算2.3.3模糊语言逻辑2.3.4模糊逻辑推理2.3.5模糊关系方程的解 93/102模糊关系方程已知A和B，有以下关系：求关系矩阵R；A∈F(U×V)、B∈F(U×W)、R∈F(V×W)，分别为笛卡尔空间U×V、U×W、V×W上的模糊关系矩阵，有A=(aij)m×n、B=(Bij)m×s、R=(rij)n×s, 94/102问题分解用分块矩阵的形式表示，有其中，则原问题可化为s个简单的模糊矩阵方程： 95/102问题的分解考察设合成算子取，需要考虑以下问题： 96/102问题的分解具体有以下两类问题：等式问题：(ai1∧r1)=bi,（ai2∧r2)=bi,...,（ain∧rn)=bi,不等式问题：(ai1∧r1)bi,（ai2∧r2)bi,...,（ain∧rn)bi 97/102分解问题的求解a∧r=b的解a∧r≤b的解 98/102解的综合设第k个方程等式成立，则一个部分解为：W[k]=[(r1),(r2)...,[rk],...(rn)]其中[rk]表示第k个等式方程的解；(ri)表示第i个不等式方程的解，i≠k。则分解问题的全部解为：Rji=W[1]∪W[2]∪...∪W[n]最终解为m个全部解的交集。Rj=Rj1Rj2Rjm 99/102例2-18已知模糊关系方程(0.5∧r1)∨(0.4∧r2)∨(0.8∧r3)=0.5求模糊关系方程解 100/102步骤1化为三个一元一次等式方程：(0.5∧r1)=0.5，(0.4∧r2)=0.5，(0.8∧r3)=0.5和三个一元一次不等式：(0.5∧r1)≤0.5，(0.4∧r2)≤0.5，(0.8∧r3)≤0.5等式方程的解为：[r1]=[0.5,1],[r2]=[],[r3]=0.5,不等式方程的解为：(r1)=[0,1],(r2)=[0，1],(r3)=[0,0.5], 101/102步骤2因此，此模糊方程的部分解分别为：R1=([r1]，(r2)，(r3))=([0.5,1]，[0，1],[0，0.5])R2=((r1)，[r2]，(r3))=([0,1]，[],[0，0.5])=[Φ],R3=((r1)，(r2)，[r3])=([0,1]，[0，1],0.5)所以，R=R1∪R3=([0.5,1],[0，1],[0，0.5])∪([0,1]，[0,1],0.5) 102/102其它类型的模糊方程已知需控制的目标B和关系矩阵R，求控制输入A。可作如下变形获得：