双曲线的几何性质

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1、掌握双曲线的简单的几何性质．了解双曲线的渐近性及渐近线的概念．掌握直线与双曲线的位置关系．2.3.2双曲线的简单几何性质【课标要求】【核心扫描】双曲线的几何性质的理解和应用．(重点)与双曲线离心率，渐近线相关的问题．(难点)经常与方程、三角、平面向量、不等式等内容结合考查学生分析问题的能力．1．2．3．1．2．3．双曲线的几何性质自学导引标准方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)图形性质焦点______________________________________焦距_________范围

2、x

3、≥a，y∈R

4、y

5、≥a，x∈R对称

6、性关于x轴、y轴、原点对称顶点______________________________________轴长实轴长＝___，虚轴长＝___离心率e＝___(e＞1)渐近线________________续表F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)

7、F1F2

8、＝2cA1(－a，0)、A2(a，0)A1(0，－a)、A2(0，a)2a2b试一试：尝试用a，b表示双曲线的离心率．(2)顶点：双曲线与它的对称轴的交点叫双曲线的顶点，双曲线只有两个顶点，相应的线段叫实轴，实轴长为2a.而虚轴长为2b，且a2＋b2＝c

9、2.特别地当2a＝2b时的双曲线叫等轴双曲线，方程为x2－y2＝a2或y2－x2＝a2.名师点睛把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.①当b2－a2k2＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．②当b2－a2k2≠0时，Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，

10、直线与双曲线相交，只有一个交点．题型一已知双曲线的标准方程求其几何性质求双曲线16x2－9y2＝－144的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[思路探索]可先把方程化成标准方程，确定a，b，c，再求其几何性质．【例1】规律方法已知双曲线的标准方程确定其性质时，一定要弄清方程中的a，b所对应的值，再利用c2＝a2＋b2得到c，从而确定e.若方程不是标准形式的先化成标准方程，再确定a、b、c的值．求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．【变式1】[思路探索]可设出双

11、曲线的标准方程，依题意建立待定参数的方程或方程组求解．题型二根据双曲线的几何性质求标准方程【例2】规律方法根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．首先，由已知判断焦点的位置，设出双曲线的标准方程，再用已知建立关于参数的方程求得．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求得．如本题中已知渐近线方程ax＋by＝0，可设所求双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)非常简捷．【变式2】训练655、双曲线定义的应用8、中位线定

12、理的应用审题指导本题主要考查直线与双曲线的位置关系、向量知识及方程思想的应用．题型三直线与双曲线的位置关系【例3】【题后反思】直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程．要注意根与系数的关系，根的判别式的应用．若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解．【变式3】[错解]假设存在m过B与双曲线交于Q1、Q2，且B是Q1Q2的中点，当m斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点；当m斜率存在时，设m的方程为y－1＝k(x－1)，误区警示忽略判别式的限制致误【示

13、例】对于圆、椭圆这种封闭的曲线，以其内部一点为中点的弦是存在的，而对于双曲线，这样的弦就不一定存在，故求出k值后需用判别式判定此时直线是否与双曲线有交点．[正解]假设存在直线m过B与双曲线交于Q1、Q2，且B是Q1Q2的中点，当直线m的斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y－1＝k(x－1)，关于中点的问题我们一般可以采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不解，从而简化运算解题；(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解．不管应用何种方法我们都必

14、须注意判别式Δ的限制．单击此处进入活页规范训练