双曲线的几何性质

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1、庄河市第六高级中学数学组任燕课题：双曲线的几何性质[教学目标]：知识目标：①使学生掌握双曲线的几何性质并会简单应用；②使学生初步学会利用方程、函数研究双曲线几何性质的方法。能力目标：培养学生数形结合，方程与函数结合的意识和能力，提高学生运用类比，归纳的方法构建新的数学知识的能力。情感目标：运用现代多媒体教学手段，揭示“数”和“形”的内在联系，体会数与形的统一美，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索的精神。[教学重点、难点]：本节课的重点是掌握双曲线的几何性质，而其中“渐近线”是本节教学的重点兼难点，突破难点的教学关键是：充分利用《几何画板》直观演示“渐近线与双曲线的关系”，让学生对渐近线

2、由“直觉猜想”→“直观感知”→“逻辑论证”，分别从数、形两方面出发，引导学生逐步认识渐近线。[学习任务归类]：本节课，要努力教给学生的主要是：①温故而知新的学习习惯；②自学、交流、讨论的学习方法；③类比、猜想、归纳的学习品格。[教学策略]：采用多媒体辅助教学。[教学方法]：启发引导法，观察法，讨论法。[教学过程]：B2(0,b)y一、复习提问A1(-a,0)A2(a,0)x0（师生共同复习以下内容）B1(0,-b)打开多媒体课件，填写表格1）椭圆的几何性质如图：请说出椭圆的性质。(性质1)图形的范围：椭圆位于直线所围成的矩形里。（性质2）对称性对称轴：轴，轴；中心：原点。（性质3）顶点坐

3、标为：。（性质4）离心率；的范围是。2）双曲线的标准方程。焦点在轴上的标准方程为焦点在轴上的标准方程为设计意图：（1）为了唤起学生对旧知识的记忆，并加深对学过知识的掌握；（2）为了给本节课研究双曲线的几何性质作好知识和方法上的铺垫。二、性质研究由方程，类比椭圆研究双曲线的几何性质。（以下性质在教学过程中均有多媒体辅助教学）1、图形的范围：把方程变形为即或师生共同总结：双曲线位于直线的左侧及直线的右侧。2、双曲线的对称性：类比椭圆师生共同总结：双曲线有两条互相垂直的对称轴：轴、轴。双曲线有一个对称中心（简称中心）：原点。3、顶点：提问：顶点的定义令，得无解双曲线与轴没有交点．　　　令，得双

4、曲线与轴有两个交点，即两个顶点引导学生类比椭圆引出实轴，虚轴的概念4、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率。因为，所以双曲线的离心率。由于，所以e越大，也越大，即渐近线的斜率绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔。双曲线的离心率是描述双曲线“开口”大小的一个重要数值。5、双曲线的渐近线：（通过多媒体展示渐近线的形成过程）在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计椭圆的形状，画出椭圆的简图都有很大作用。提问:对双曲线仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系

5、？这个矩形对于估计和画出双曲线简图有什么指导意义？（这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．）接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？请同学回答，应为，并画出两条对角线，进一步引导学生从图观察得出结论：双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。（很形象的得出下面定义）定义：直线叫做双曲线的渐近线，对于渐近线我们有如下几个性质：充分利用《几何画板》直观演示“渐近线与双曲线的关系”，让学生对渐近线由“直觉猜想”→“直观感知”→“逻辑论证”，分别从数、形两方面出发，引导学生逐步认识渐近线。“说明双曲线上的点越来越接近于直线y=”，采用两种方法：一是通过电脑演

6、示，直观反映“渐近”的特征。二是定量描述，直接计算双曲线上的点到直线的距离，体会这个距离无限接近于0；三是计算相同横坐标时对应点的纵坐标差，体会渐进性，渗透极限思想；设计意图：（1）培养学生观察能力.（2）培养学生总结归纳及其类比的能力.（3）创造思维的培养及类比的运用.提问：焦点在y轴上的双曲线有什么性质？（学生总结）设计意图：是渗透分类讨论的数学思想三、训练反馈2．求适合下列条件的双曲线的标准方程。（2）已知双曲线的虚轴长为6，离心率为2，设计意图：（1）检验学生知识掌握情况（2）检验学生对知识的掌握及运用能力（3）培养学生的逻辑推导及运算能力四、归纳小结：1.知识小结：（1）注意椭

7、圆与双曲线几何性质的区别（2）学习了双曲线的范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义；（3）渐近线是双曲线特有的性质，必须引起我们的重视；2.数学思想方法：（1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。（2）分类讨论的数学思想五、布置作业教材56页—练习A第一题教材57页—第2题设计意图：巩固所学，对学有余力者留出自由发展的空间，培养学生探索精神。六、板书设计1、双曲线的标准方程2、双曲线的4个性质双曲线的几何性质椭圆双曲线