双曲线的几何性质

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1、双曲线的几何性质重点：双曲线的几何性质，双曲线各元素之间的相互依存关系，特别是双曲线的渐近线性质。难点：有关双曲线的离心率、渐近线的问题。学习过程一：课前延伸1.课前提问：（1）双曲线的定义：。①若去掉“绝对值”三个字，则动点的轨迹是；②若，则动点的轨迹是，若，则动点的轨迹；若，则动点的轨迹是。（2）双曲线的标准方程：焦点在轴上；焦点在轴上；如何确定焦点在哪个轴上？；的关系是。（3）双曲线上一点到一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离为（4）双曲线的标准方程为，焦点坐标为，两焦点之间的距离为。2.自主学习：类比椭圆的几何性质，归纳双曲线的几何性质。双曲线的标准方程是，它的有关性质：（1）

2、范围：；（2）对称性：对称轴：；对称中心：；叫做双曲线的中心（3）顶点：坐标：；叫做双曲线的实轴，叫做双曲线的虚轴，分别叫做双曲线的；它们之间的关系是。（4）离心率：定义：，范围：，越大，双曲线的开口越。（5）渐近线：叫做双曲线的渐近线，如何求得？（6）焦点在轴上的双曲线的性质呢？双曲线的几何性质的认识：例1、已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，如果焦距为10，实轴长为8，求此双曲线的标准方程和离心率。3例2、求双曲线的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标及渐近线方程。注意：求双曲线的实（半）轴长、虚（半）轴长、（半）焦距、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程等，首先要将双曲线化到标准方程

3、，准确找出，后加以计算，并看清题目要求。二、课内研究：（1）双曲线的渐近线：例3、（1）求双曲线的渐近线方程，并画出此双曲线的图形。（2）求与双曲线具有相同渐近线，且经过点的双曲线的标准方程。小结：①根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法：。②根据双曲线的渐近线方程求双曲线的方程的求法：如果两条渐近线的方程为，那么双曲线的方程为。③画双曲线时，应先画出它的渐近线。（2）几何性质的应用例4、一双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所称的曲面，它的最小口径为，上口径为，下口径为，高为。在如图所给的平面直角坐标系中，求此双曲线的近似方程（提示:参照课本例3求解）。三、课

4、堂小结1.双曲线渐近线的求法；共渐近线的双曲线的方程的设法。2双曲线的几何性质：范围，对称性，顶点，离心率，渐近线，3的名称及它们之间的关系。四、课堂检测：1.求下列双曲线的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率及渐近线方程：（1）；（2）；2.已知双曲线一焦点坐标为（5，0），一渐近线方程为，求此双曲线的标准方程和离心率。3.根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）它与双曲线有共同的渐近线方程，且经过点；（2）两顶点之间的距离是6，两焦点连线被两顶点和中心四等分。4.双曲线的右焦点为，焦距为，左顶点为，虚轴的上端点为，若，求该双曲线的离心率。3